设二维随机变量 $(X, Y)$ 在区域 $D=\left\{(x, y) \mid 0 < x < 1, x^2 < y < \sqrt{x}\right\}$ 上服从均匀分布, 令 $U= \begin{cases}1, & X \leqslant Y \\ 0, & X>Y\end{cases}$
( I ) 写出 $(X, Y)$ 的概率密度;
(II) 问 $U$ 与 $X$ 是否相互独立? 并说明理由;
(III) 求 $Z=U+X$ 的分布函数 $F(z)$.
$\text{A.}$
$\text{B.}$
$\text{C.}$
$\text{D.}$