题号:2076    题型:解答题    来源:2016年全国硕士研究生招生考试试题
设二维随机变量 $(X, Y)$ 在区域 $D=\left\{(x, y) \mid 0 < x < 1, x^2 < y < \sqrt{x}\right\}$ 上服从均匀分布, 令 $U= \begin{cases}1, & X \leqslant Y \\ 0, & X > Y\end{cases}$
( I ) 写出 $(X, Y)$ 的概率密度;
(II) 问 $U$ 与 $X$ 是否相互独立? 并说明理由;
(III) 求 $Z=U+X$ 的分布函数 $F(z)$.
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答案:
解 (I) $(X, Y)$ 的概率密度为
$$
f(x, y)= \begin{cases}3, & (x, y) \in D, \\ 0, & \text { 其他. }\end{cases}
$$
(II) 对于 $0 < t < 1$,
$$
\begin{aligned}
&P\{U \leqslant 0, X \leqslant t\}=P\{X > Y, X \leqslant t\}=\int_0^t \mathrm{~d} x \int_{x^2}^x 3 \mathrm{~d} y=\frac{3}{2} t^2-t^3, \\
&P\{U \leqslant 0\}=P\{X > Y\}=\frac{1}{2}, \\
&P\{X \leqslant t\}=\int_0^t \mathrm{~d} x \int_{x^2}^{\sqrt{x}} 3 \mathrm{~d} y=2 t^{\frac{3}{2}}-t^3 .
\end{aligned}
$$
由于 $P\{U \leqslant 0, X \leqslant t\} \neq P\{U \leqslant 0\} P\{X \leqslant t\}$, 所以 $U$ 与 $X$ 不相互独立.
(III) 当 $z < 0$ 时, $F(z)=0$; 当 $0 \leqslant z < 1$ 时,
$$
\begin{aligned}
F(z) &=P\{Z \leqslant z\}=P\{U+X \leqslant z\} \\
&=P\{U=0, X \leqslant z\}=P\{X > Y, X \leqslant z\}=\frac{3}{2} z^2-z^3 ;
\end{aligned}
$$
当 $1 \leqslant z < 2$ 时, $F(z)=P\{U+X \leqslant z\}$
$$
=P\{U=0, X \leqslant z\}+P\{U=1, X \leqslant z-1\}
$$
$$
=\frac{1}{2}+2(z-1)^{\frac{3}{2}}-\frac{3}{2}(z-1)^2 \text {; }
$$
当 $z \geqslant 2$ 时, $F(z)=P\{U+X \leqslant z\}=1$.
$F(z)=\left\{\begin{array}{lc}0, & z < 0, \\ \frac{3}{2} z^2-z^3, & 0 \leqslant z < 1, \\ \frac{1}{2}+2(z-1)^{\frac{3}{2}}-\frac{3}{2}(z-1)^2, & 1 \leqslant z < 2, \\ 1, & z \geqslant 2 .\end{array}\right.$
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