题号:2074    题型:解答题    来源:2016年全国硕士研究生招生考试试题
设矩阵 $\boldsymbol{A}=\left(\begin{array}{ccc}1 & -1 & -1 \\ 2 & a & 1 \\ -1 & 1 & a\end{array}\right), \boldsymbol{B}=\left(\begin{array}{cc}2 & 2 \\ 1 & a \\ -a-1 & -2\end{array}\right)$. 当 $a$ 为何值时, 方程 $\boldsymbol{A} \boldsymbol{X}=\boldsymbol{B}$ 无解 、有唯一 解、有无穷多解? 在有解时, 求解此方程.
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答案:
对矩阵 $(\boldsymbol{A} \mid \boldsymbol{B})$ 施以初等行变换
$\boldsymbol{A}: \boldsymbol{B}=\left(\begin{array}{ccc:cc}1 & -1 & -1 & 2 & 2 \\ 2 & a & 1 & 1 & a \\ -1 & 1 & a & -a-1 & -2\end{array}\right) \rightarrow\left(\begin{array}{ccc:cc}1 & -1 & -1 & 2 & 2 \\ 0 & a+2 & 3 & -3 & a-4 \\ 0 & 0 & a-1 & 1-a & 0\end{array}\right)=\boldsymbol{C} .$ 当 $a \neq 1$ 且 $a \neq-2$ 时, 由于
$$
\boldsymbol{C} \rightarrow\left(\begin{array}{ccc:cc}
1 & -1 & -1 & 2 & 2 \\
0 & a+2 & 3 & -3 & a-4 \\
0 & 0 & 1 & -1 & 0
\end{array}\right) \rightarrow\left(\begin{array}{ccc:cc}
1 & 0 & 0 & 1 & \frac{3 a}{a+2} \\
0 & & & & 0 \\
0 & 1 & 0 & 0 & \frac{a-4}{a+2} \\
0 & 0 & 1 & -1 & 0
\end{array}\right),
$$
所以 $\mathbf{A X}=\mathbf{B}$ 有唯一解, 且
$$
\boldsymbol{X}=\left(\begin{array}{cc}
1 & \frac{3 a}{a+2} \\
0 & \frac{a-4}{a+2} \\
-1 & 0
\end{array}\right)
$$
当 $a=1$ 时, 由于
$$
\boldsymbol{C}=\left(\begin{array}{ccc:cc}
1 & -1 & -1 & 2 & 2 \\
0 & 3 & 3 & -3 & -3 \\
0 & 0 & 0 & 0 & 0
\end{array}\right) \rightarrow\left(\begin{array}{ccc:cc}
1 & 0 & 0 & 1 & 1 \\
0 & 1 & 1 & -1 & -1 \\
0 & 0 & 0 & 0 & 0
\end{array}\right),
$$
所以 $\boldsymbol{A X}=\boldsymbol{B}$ 有无穷多解, 且
$$
\boldsymbol{X}=\left(\begin{array}{cc}
1 & 1 \\
-1 & -1 \\
0 & 0
\end{array}\right)+\left(\begin{array}{cc}
0 & 0 \\
k_1 & k_2 \\
-k_1 & -k_2
\end{array}\right) \text {, 其中 } k_1, k_2 \text { 为任意常数. }
$$

当 $a=-2$ 时,由于
$$
\boldsymbol{C}=\left(\begin{array}{ccc:cc}
1 & -1 & -1 & 2 & 2 \\
0 & 0 & 3 & -3 & -6 \\
0 & 0 & -3 & 3 & 0
\end{array}\right) \rightarrow\left(\begin{array}{ccc:cc}
1 & -1 & -1 & 2 & 2 \\
0 & 0 & 1 & -1 & 0 \\
0 & 0 & 0 & 0 & 1
\end{array}\right)
$$
所以 $\boldsymbol{A X}=\boldsymbol{B}$ 无解.
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