题号:2072    题型:解答题    来源:2016年全国硕士研究生招生考试试题
设有界区域 $\Omega$ 由平面 $2 x+y+2 z=2$ 与三个坐标平面围成, $\Sigma$ 为 $\Omega$ 整个表面的外侧, 计算曲面 积分 $I=\iint_{\Sigma}\left(x^2+1\right) \mathrm{d} y \mathrm{~d} z-2 y \mathrm{~d} z \mathrm{~d} x+3 z \mathrm{~d} x \mathrm{~d} y$.
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答案:
解 根据高斯公式得
$$
I=\iint_{\Omega}(2 x+1) \mathrm{d} x \mathrm{~d} y \mathrm{~d} z .
$$
因为 $\iint_{\Omega}^{\infty} \mathrm{d} x \mathrm{~d} y \mathrm{~d} z=\frac{1}{3} \times \frac{1}{2} \times 2 \times 1 \times 1=\frac{1}{3}$,
$$
\iint_{\Omega} x \mathrm{~d} x \mathrm{~d} y \mathrm{~d} z=\int_0^1 \mathrm{~d} x \int_0^{2(1-x)} \mathrm{d} y \int_0^{1-x-\frac{y}{2}} x \mathrm{~d} z=\int_0^1 \mathrm{~d} x \int_0^{2(1-x)} x\left(1-x-\frac{y}{2}\right) \mathrm{d} y
$$
$$
=\int_0^1 x(1-x)^2 \mathrm{~d} x=\frac{1}{12},
$$
所以 $I=2 \times \frac{1}{12}+\frac{1}{3}=\frac{1}{2}$.

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