题号:2069    题型:解答题    来源:2016年全国硕士研究生招生考试试题
已知平面区域 $D=\left\{(r, \theta) \mid 2 \leqslant r \leqslant 2(1+\cos \theta),-\frac{\pi}{2} \leqslant \theta \leqslant \frac{\pi}{2}\right\}$, 计算二重积分 $\iint_D x \mathrm{~d} x \mathrm{~d} y$.
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答案:

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\begin{aligned}
\iint_D \ddot{x} \mathrm{~d} x \mathrm{~d} y &=2 \int_0^{\frac{\pi}{2}} \mathrm{~d} \theta \int_2^{2(1+\cos \theta)} r^2 \cos \theta \mathrm{d} r \\
&=\frac{16}{3} \int_0^{\frac{\pi}{2}}\left[(1+\cos \theta)^3-1\right] \cos \theta \mathrm{d} \theta \\
&=\frac{16}{3} \int_0^{\frac{\pi}{2}}\left(3 \cos ^2 \theta+3 \cos ^3 \theta+\cos ^4 \theta\right) \mathrm{d} \theta=\frac{32}{3}+5 \pi .
\end{aligned}
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