题号:2066    题型:填空题    来源:2016年全国硕士研究生招生考试试题
设函数 $f(x)=\arctan x-\frac{x}{1+a x^2}$, 且 $f^{\prime \prime \prime}(0)=1$, 则 $a=$
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答案:
$\frac{1}{2}$

解析:

解 $\frac{1}{1+x^2}=\sum_{n=0}^{\infty}(-1)^n x^{2 n}$, 则 $\arctan x=\int_0^x \frac{1}{1+x^2} \mathrm{~d} x=\sum_{n=0}^{\infty} \int_0^x(-1)^n x^{2 n} \mathrm{~d} x=\sum_{n=0}^{\infty} \frac{(-1)^n x^{2 n+1}}{2 n+1}=x-\frac{x^3}{3}+\frac{x^5}{5}-\frac{x^7}{7}+\cdots$, $\frac{x}{1+a x^2}=x \cdot \frac{1}{1+\left(a x^2\right)}=x \sum_{n=0}^{\infty}\left(-a x^2\right)^n=x\left(1-a x^2+a^2 x^4-a^3 x^6+\cdots\right)$ $=x-a x^3+a^2 x^5-a^3 x^7+\cdots$,
所以 $f(x)=\arctan x-\frac{x}{1+a x^2}=\left(-\frac{1}{3}+a\right) x^3+\left(\frac{1}{5}-a^2\right) x^5+\left(-\frac{1}{7}+a^3\right) x^7+\cdots$, 又 $f(x)=f(0)+f^{\prime}(0) x+\frac{1}{2 !} f^{\prime \prime}(0) x^2+\frac{1}{3 !} f^{\prime \prime \prime}(0) x^3+\cdots$, 因此 $\frac{1}{3 !} f^{\prime \prime \prime}(0)=-\frac{1}{3}+a$, 又 $f^{\prime \prime \prime}(0)=1$, 故 $a=\frac{1}{2}$.
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