题号:2062    题型:单选题    来源:2016年全国硕士研究生招生考试试题
类型:考研真题
随机试验 $E$ 有三种两两不相容的结果 $A_1, A_2, A_3$, 且三种结果发生的概率均为 $\frac{1}{3}$, 将试验 $E$ 独立 重复做 2 次, $X$ 表示 2 次试验中结果 $A_1$ 发生的次数, $Y$ 表示 2 次试验中结果 $A_2$ 发生的次数,则 $X$ 与 $Y$ 的相关系数为
$A.$ $-\frac{1}{2}$. $B.$ $-\frac{1}{3}$. $C.$ $\frac{1}{3}$. $D.$ $\frac{1}{2}$.
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答案:
A

解析:

解 $(X, Y)$ 的联合分布为:


由此可得 $E X=0 \times \frac{4}{9}+1 \times \frac{4}{9}+2 \times \frac{1}{9}=\frac{2}{3}$; 同理, $E Y=\frac{2}{3}$. $E X^2=0 \times \frac{4}{9}+1^2 \times \frac{4}{9}+2^2 \times \frac{1}{9}=\frac{8}{9}$; 同理 $E Y^2=\frac{8}{9}$. 又 $E X Y=\frac{2}{9}$, 所以, $\operatorname{Cov}(X, Y)=E X Y-E X E Y=-\frac{2}{9}$. 又 $D X=E X^2-(E X)^2=\frac{4}{9}$, 同理, $D Y=\frac{4}{9}$, 故 $\rho_{X Y}=\frac{\operatorname{Cov}(X, Y)}{\sqrt{D X} \cdot \sqrt{D Y}}=\frac{E(X Y)-E X \cdot E Y}{\sqrt{D X} \cdot \sqrt{D Y}}=-\frac{1}{2}$. 故应选 A.

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