已知函数 $f(x)=\cos x$, 函数 $g(x)$ 的图象可以由函数 $f(x)$的图象先向右平移 $\frac{\pi}{6}$ 个单位长度, 再将所得函数图象保持纵坐标不变, 横坐标变为原来的 $\frac{1}{\omega}(\omega>0)$ 倍得到,若函数 $g(x)$ 在 $\left(\frac{\pi}{2}, \frac{3 \pi}{2}\right)$ 上没有零点, 则 $\omega$ 的取值范围是（）
$\text{A.}$ $\left(0, \frac{4}{9}\right]$
$\text{B.}$ $\left[\frac{4}{9}, \frac{8}{9}\right]$
$\text{C.}$ $\left(\frac{4}{9}, \frac{8}{9}\right]$
$\text{D.}$ $\left(0, \frac{8}{9}\right]$