【ID】2059 【题型】单选题 【类型】考研真题 【来源】2016年全国硕士研究生招生考试试题
设 $\boldsymbol{A}, \boldsymbol{B}$ 是可逆矩阵,且 $\boldsymbol{A}$ 与 $\boldsymbol{B}$ 相似,则下列结论错误的是
$A.$ $\boldsymbol{A}^{\mathrm{T}}$ 与 $\boldsymbol{B}^{\mathrm{T}}$ 相似. $B.$ $\boldsymbol{A}^{-1}$ 与 $\boldsymbol{B}^{-1}$ 相似. $C.$ $\boldsymbol{A}+\boldsymbol{A}^{\mathrm{T}}$ 与 $\boldsymbol{B}+\boldsymbol{B}^{\mathrm{T}}$ 相似. $D.$ $\boldsymbol{A}+\boldsymbol{A}^{-1}$ 与 $\boldsymbol{B}+\boldsymbol{B}^{-1}$ 相似.
答案:
C

解析:

解 $\boldsymbol{P}^{-1} \boldsymbol{A P}=\boldsymbol{B}$, 有 $\left(\boldsymbol{P}^{-1} \boldsymbol{A} \boldsymbol{P}\right)^{\mathrm{T}}=\boldsymbol{B}^{\mathrm{T}}$, 即有 $\boldsymbol{P}^{\mathrm{T}} \boldsymbol{A}^{\mathrm{T}}\left(\boldsymbol{P}^{\mathrm{T}}\right)^{-1}=\boldsymbol{B}^T$, 即 $\mathrm{A}$ 正确; $\left(\boldsymbol{P}^{-1} \boldsymbol{A P}\right)^{-1}=\boldsymbol{B}^{-1}$, 有 $\boldsymbol{P}^{-1} \boldsymbol{A}^{-1} \boldsymbol{P}=\boldsymbol{B}^{-1}$, 即 B 正确, 而 D 正确. 故应选 C.

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