【ID】2058 【题型】单选题 【类型】考研真题 【来源】2016年全国硕士研究生招生考试试题
已知函数 $f(x)=\left\{\begin{array}{ll}x, & x \leqslant 0, \\ \frac{1}{n}, & \frac{1}{n+1} < x \leqslant \frac{1}{n}, n=1,2, \cdots,\end{array}\right.$ 则
$A.$ $x=0$ 是 $f(x)$ 的第一类间断点. $B.$ $x=0$ 是 $f(x)$ 的第二类间断点. $C.$ $f(x)$ 在 $x=0$ 处连续但不可导. $D.$ $f(x)$ 在 $x=0$ 处可导.
答案:
D

解析:

解 因为 $\lim _{x \rightarrow 0^{-}} f(x)=\lim _{x \rightarrow 0^{-}} x=0, \lim _{x \rightarrow 0^{+}} f(x)=\lim _{x \rightarrow \infty} \frac{1}{n}=0$, 可得 $f(0-0)=f(0+0)=f(0)$, 所以 $f(x)$ 在 $x=0$ 处连续. 又
$$
f_{-}^{\prime}(0)=\lim _{x \rightarrow 0^{-}} \frac{f(x)-f(0)}{x-0}=\lim _{x \rightarrow 0^{-}} \frac{x-0}{x-0}=1, \quad f_{+}^{\prime}(0)=\lim _{x \rightarrow 0^{+}} \frac{f(x)-f(0)}{x-0}=\lim _{x \rightarrow 0^{+}} \frac{\frac{1}{x}}{x-0},
$$
而 $\frac{1}{n+1} < x < \frac{1}{n}$, 可得 $1 < \frac{1}{n x} < \frac{n+1}{n}$, 且当 $x \rightarrow 0^{+}$时 $n \rightarrow \infty$.
所以 $\lim _{x \rightarrow 0^{+}} 1=1, \lim _{x \rightarrow 0^{+}} \frac{n+1}{n}=\lim _{n \rightarrow \infty} \frac{n+1}{n}=1$,
由夹逼准则 $\lim _{x \rightarrow 0^{+}} \frac{1}{n x}=1$, 即 $f_{-}^{\prime}(0)=f_{+}^{\prime}(0)=1$. 故 $f(x)$ 在 $x=0$ 处可导.

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