题号:2056    题型:单选题    来源:2016年全国硕士研究生招生考试试题
类型:考研真题
已知函数 $f(x)=\left\{\begin{array}{ll}2(x-1), & x < 1, \\ \ln x, & x \geqslant 1,\end{array}\right.$ 则 $f(x)$ 的一个原函数是
$A.$ $F(x)= \begin{cases}(x-1)^2, & x < 1, \\ x(\ln x-1), & x \geqslant 1 .\end{cases}$ $B.$ $F(x)= \begin{cases}(x-1)^2, & x < 1, \\ x(\ln x+1)-1, & x \geqslant 1 .\end{cases}$ $C.$ $F(x)= \begin{cases}(x-1)^2, & x < 1, \\ x(\ln x+1)+1, & x \geqslant 1 .\end{cases}$ $D.$ $F(x)= \begin{cases}(x-1)^2, & x < 1 \\ x(\ln x-1)+1, & x \geqslant 1\end{cases}$
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答案:
D

解析:

解 当 $x < 1$ 时, $F(x)=\int 2(x-1) \mathrm{d} x=x^2-2 x+C_1$;
当 $x \geqslant 1$ 时, $F(x)=\int \ln x \mathrm{~d} x=x \ln x-x+C_2$;
且 $\lim _{x \rightarrow 1} F(x)=\lim _{x \rightarrow 1}\left(x^2-2 x+C_1\right)=C_1-1 ; \lim _{x \rightarrow 1^{+}} F(x)=\lim _{x \rightarrow 1^{+}}\left(x \ln x-x+C_2\right)=C_2-1$.
又 $F(x)$ 在 $x=1$ 处连续, 因此有 $\lim _{x \rightarrow 1^{-}} F(x)=\lim _{x \rightarrow 1} F(x)=F(1)$, 即 $C_1-1=C_2-1$,
所以 $C_1=C_2=C$. 故原函数为 $F(x)=\left\{\begin{array}{ll}x^2-2 x+C, & x < 1, \\ x \ln x-x+C, & x \geqslant 1\end{array}\right.$.
当 $C=1$ 时, 对应的原函数为 $D$.

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