【ID】2055 【题型】单选题 【类型】考研真题 【来源】2016年全国硕士研究生招生考试试题
若反常积分 $\int_0^{+\infty} \frac{1}{x^a(1+x)^b} \mathrm{~d} x$ 收敛, 则
$A.$ $a < 1$ 且 $b > 1$. $B.$ $a > 1$ 且 $b > 1$. $C.$ $a < 1$ 且 $a+b > 1$. $D.$ $a > 1$ 且 $a+b > 1$.
答案:
C

解析:

解 取 $a=0$, 若 $\int_0^{+\infty} \frac{\mathrm{d} x}{(1+x)^b}=\left.\frac{1}{1-b}(1+x)^{1-b}\right|_0 ^{+\infty}=\frac{1}{1-b}\left[\lim _{x \rightarrow+\infty}\left(1+\frac{1}{x)^{b-1}}-1\right]\right.$ 收敛, 只需 $b > 1$ 即可. 说明 $a < 1$ 可以使原反常积分收敛, 排除 B, D.
再取 $a=-1, b=2$.
$$
\int_0^{+\infty} \frac{x}{(1+x)^2} \mathrm{~d} x=\int_0^{+\infty} \frac{1}{1+x} \mathrm{~d} x-\int_0^{+\infty} \frac{1}{(1+x)^2} \mathrm{~d} x=\left.\ln (1+x)\right|_0 ^{+\infty}+\left.\frac{1}{1+x}\right|_0 ^{+\infty}=+\infty,
$$
发散, 说明满足 $a < 1$ 且 $b > 1$, 原反常积分发散, 排除 $\mathrm{A}$.

视频讲解

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