题号:2004    题型:解答题    来源:2022年哈三中第二次高考模拟考试 数学试卷 (理工类)
已知函数 $f(x)=\left(\ln x-\frac{1}{2}\right) x^2-6 a(\ln x-1) x, a$ 为常数, $a \in R$
(I) 当 $a=\frac{1}{3}$ 时, 求 $f(x)$ 在 $x=e$ 处的切线方程;
( II ) (i) 讨论函数 $f(x)$ 的单调性;
(ii ) $\forall x \in(e,+\infty)$, 不等式 $f(x) > 2 a^2$ 恒成立, 求 $a$ 的取值范围.
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答案:
( I ) $a=\frac{1}{3}$ 时, $f^{\prime}(x)=2 \ln x(x-1)\left(\right.$ s, $f^{\prime}(e)=2 e-2$, 切 线 方 程 : $y=(2 e-2) x-\frac{3}{2} e^2+2 e$


(II)
当 $a \leq 0, f(x)$ 在 $(0,1) \downarrow(1,+\infty) \uparrow$ ;

当 $0 < a < \frac{1}{3} \quad f(x)$ 在 $(0,3 a) \uparrow(3 a, 1) \downarrow(1,+\infty) \uparrow ;$

当 $a > \frac{1}{3}, f(x)$ 在 $(0,1) \uparrow(1,3 a) \downarrow(3 a,+\infty) \uparrow$;

当 $a=\frac{1}{3}$ 时, $f(x)$ 在 $(0,+\infty) \uparrow $


(III) 令 $f^{\prime}(x)=2 \ln x(x-3 a)=0, x_1=1, x_2=3 a$ 。

(1)当 $a \leq \frac{e}{3}$ 时, $f(x)_{\text {在 }}(e,+\infty) \uparrow$,
$f(x) > f(e)=\frac{1}{2} e^2 > 2 a^2 \quad, \quad \therefore-\frac{e}{2} < a \leq \frac{e}{3} \quad$ 。

(2) 当 $a > \frac{e}{3}$ ,时,
$$
f(x)_{\min }=f(3 a)=\left(\ln 3 a-\frac{1}{2}\right)(3 a)^2-6 a \cdot 3 a(\ln 3 a-1) > 2 a^2,
$$

$$
\therefore a < \frac{1}{3} e^{\frac{23}{18}} \quad, \text { 综上, } a \in\left(-\frac{e}{2}, \frac{1}{3} e^{\frac{23}{18}}\right)
$$
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