【ID】1983 【题型】解答题 【类型】考研真题 【来源】2015年全国硕士研究生招生考试试题
设随机变量 $X$ 的概率密度为
$$
f(x)= \begin{cases}2^{-x} \ln 2, & x > 0, \\ 0, & x \leqslant 0 .\end{cases}
$$
对 $X$ 进行独立重复的观测, 直到第 2 个大于 3 的观测值出现时停止, 记 $Y$ 为观测次数.
(I) 求 $Y$ 的概率分布;
(II) 求 $E(Y)$.
答案:
解 (I ) 每次观测中, 观测稙大于 3 的概率为
$$
P\{X > 3\}=\int_3^{+\infty} f(x) \mathrm{d} x=\int_3^{+\infty} 2^{-x} \ln 2 \mathrm{~d} x=\frac{1}{8},
$$
故 $Y$ 的概率分布为
$$
\begin{aligned}
& P\{Y=k\}=(k-1)\left(\frac{7}{8}\right)^{k-2}\left(\frac{1}{8}\right)^2, k=2,3, \cdots . \\
E Y &=\sum_{k=2}^{\infty} k(k-1)\left(\frac{7}{8}\right)^{k-2}\left(\frac{1}{8}\right)^2 \\
&=\left.\left(\frac{1}{8}\right)^2\left(\sum_{k=2}^{\infty} x^k\right)^{\prime \prime}\right|_{x=\frac{7}{8}} \\
&=\left.\left(\frac{1}{8}\right)^2 \frac{2}{(1-x)^3}\right|_{x=\frac{7}{8}} \\
&=16 .
\end{aligned}
$$

解析:

视频讲解

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