题号:1982    题型:解答题    来源:2015年全国硕士研究生招生考试试题
设矩阵 $\boldsymbol{A}=\left(\begin{array}{ccc}0 & 2 & -3 \\ -1 & 3 & -3 \\ 1 & -2 & a\end{array}\right)$ 相似于矩阵 $\boldsymbol{B}=\left(\begin{array}{ccc}1 & -2 & 0 \\ 0 & b & 0 \\ 0 & 3 & 1\end{array}\right)$. (I) 求 $a, b$ 的值;
(II) 求可逆矩阵 $P$, 使 $P^{-1} A P$ 为对角矩阵.
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答案:
解(I)由于矩阵 $\boldsymbol{A}$ 与矩阵 $\boldsymbol{B}$ 相似, 所以
$$
\begin{gathered}
\operatorname{tr}(\boldsymbol{A})=\operatorname{tr}(\boldsymbol{B}),|\boldsymbol{A}|=|\boldsymbol{B}|, \\
3+a=2+b, 2 a-3=b, \\
a=4, b=5 .
\end{gathered}
$$
(II) 由 (I) 知 $\boldsymbol{A}=\left(\begin{array}{ccc}0 & 2 & -3 \\ -1 & 3 & -3 \\ 1 & -2 & 4\end{array}\right), \boldsymbol{B}=\left(\begin{array}{ccc}1 & -2 & 0 \\ 0 & 5 & 0 \\ 0 & 3 & 1\end{array}\right)$. 由于矩阵 $\boldsymbol{A}$ 与矩阵 $\boldsymbol{B}$ 相似,所以
$$
|\lambda \boldsymbol{E}-\boldsymbol{A}|=|\lambda \boldsymbol{E}-\boldsymbol{B}|=(\lambda-1)^2(\lambda-5) .
$$
故 $\boldsymbol{A}$ 的特征值为 $\lambda_1=\lambda_2=1, \lambda_3=5$.
当 $\lambda_1=\lambda_2=1$ 时, 解方程组 $(\boldsymbol{E}-\boldsymbol{A}) \boldsymbol{x}=\mathbf{0}$, 得线性无关的特征向量 $\boldsymbol{\xi}_1=\left(\begin{array}{l}2 \\ 1 \\ 0\end{array}\right), \boldsymbol{\xi}_2=\left(\begin{array}{c}-3 \\ 0 \\ 1\end{array}\right)$.
当 $\lambda_3=5$ 时, 解方程组 $(5 \boldsymbol{E}-\boldsymbol{A}) \boldsymbol{x}=\mathbf{0}$, 得特征向量 $\boldsymbol{\xi}_3=\left(\begin{array}{c}-1 \\ -1 \\ 1\end{array}\right)$. 令 $\boldsymbol{P}=\left(\boldsymbol{\xi}_1, \boldsymbol{\xi}_2, \boldsymbol{\xi}_3\right)=\left(\begin{array}{ccc}2 & -3 & -1 \\ 1 & 0 & -1 \\ 0 & 1 & 1\end{array}\right)$, 则
$$
\boldsymbol{P}^{-1} \boldsymbol{A P}=\left(\begin{array}{lll}
1 & 0 & 0 \\
0 & 1 & 0 \\
0 & 0 & 5
\end{array}\right),
$$
故 $\boldsymbol{P}$ 为所求可逆矩阵.
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