题号:1981    题型:解答题    来源:2015年全国硕士研究生招生考试试题
设向量组 $\boldsymbol{\alpha}_1, \boldsymbol{\alpha}_2, \boldsymbol{\alpha}_3$ 为 $\mathbf{R}^3$ 的一个基, $\boldsymbol{\beta}_1=2 \boldsymbol{\alpha}_1+2 k \boldsymbol{\alpha}_3, \boldsymbol{\beta}_2=2 \boldsymbol{\alpha}_2, \boldsymbol{\beta}_3=\boldsymbol{\alpha}_1+(k+1) \boldsymbol{\alpha}_3$.
( I ) 证明向量组 $\boldsymbol{\beta}_1, \boldsymbol{\beta}_2, \boldsymbol{\beta}_3$ 为 $\mathbf{R}^3$ 的一个基;
(II ) 当 $k$ 为何值时, 存在非零向量 $\boldsymbol{\xi}$ 在基 $\boldsymbol{\alpha}_1, \boldsymbol{\alpha}_2, \boldsymbol{\alpha}_3$ 与基 $\boldsymbol{\beta}_1, \boldsymbol{\beta}_2, \boldsymbol{\beta}_3$ 下的坐标相同,并求所有的 $\boldsymbol{\xi}$.
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答案:
解 (I ) 由于
$$
\left(\boldsymbol{\beta}_1, \boldsymbol{\beta}_2, \boldsymbol{\beta}_3\right)=\left(2 \boldsymbol{\alpha}_1+2 k \boldsymbol{\alpha}_3, 2 \boldsymbol{\alpha}_2, \boldsymbol{\alpha}_1+(k+1) \boldsymbol{\alpha}_3\right)=\left(\boldsymbol{\alpha}_1, \boldsymbol{\alpha}_2, \boldsymbol{\alpha}_3\right) \boldsymbol{P},
$$
其中
$$
\boldsymbol{P}=\left(\begin{array}{ccc}
2 & 0 & 1 \\
0 & 2 & 0 \\
2 k & 0 & k+1
\end{array}\right),
$$
且 $|\boldsymbol{P}|=4 \neq 0$, 所以 $\boldsymbol{\beta}_1, \boldsymbol{\beta}_2, \boldsymbol{\beta}_3$ 为 $\mathbf{R}^3$ 的一个基.
(II) 设 $\boldsymbol{\xi}$ 在基 $\boldsymbol{\alpha}_1, \boldsymbol{\alpha}_2, \boldsymbol{\alpha}_3$ 与基 $\boldsymbol{\beta}_1, \boldsymbol{\beta}_2, \boldsymbol{\beta}_3$ 下的坐标向量为 $x$, 则
$$
\boldsymbol{\xi}=\left(\boldsymbol{\alpha}_1, \boldsymbol{\alpha}_2, \boldsymbol{\alpha}_3\right) \boldsymbol{x}=\left(\boldsymbol{\beta}_1, \boldsymbol{\beta}_2, \boldsymbol{\beta}_3\right) x=\left(\boldsymbol{\alpha}_1, \boldsymbol{\alpha}_2, \boldsymbol{\alpha}_3\right) \boldsymbol{P x},
$$
所以
对 $P-E$ 施以初等行变换
$$
(P-E) x=0 \text {. }
$$
$$
\boldsymbol{P}-\boldsymbol{E}=\left(\begin{array}{ccc}
1 & 0 & 1 \\
0 & 1 & 0 \\
2 k & 0 & k
\end{array}\right) \rightarrow\left(\begin{array}{ccc}
1 & 0 & 1 \\
0 & 1 & 0 \\
0 & 0 & -k
\end{array}\right),
$$
所以当 $k=0$ 时, 方程组 $(\boldsymbol{P}-\boldsymbol{E}) \boldsymbol{x}=\mathbf{0}$ 有非零解, 且所有非零解为
$$
\boldsymbol{x}=c\left(\begin{array}{c}
1 \\
0 \\
-1
\end{array}\right), c \text { 为任意非零常数. }
$$
故在两个基下坐标相同的所有非零向量为
$$
\boldsymbol{\xi}=\left(\boldsymbol{\alpha}_1, \boldsymbol{\alpha}_2, \boldsymbol{\alpha}_3\right)\left(\begin{array}{c}
c \\
0 \\
-c
\end{array}\right)=c\left(\boldsymbol{\alpha}_1-\boldsymbol{\alpha}_3\right), c \text { 为任意非零常数. }
$$
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