【ID】1979 【题型】解答题 【类型】考研真题 【来源】2015年全国硕士研究生招生考试试题
(I ) 设函数 $u(x), v(x)$ 可导, 利用导数定义证明 $[u(x) v(x)]^{\prime}=u^{\prime}(x) v(x)+u(x) v^{\prime}(x)$;
( II) 设函数 $u_1(x), u_2(x), \cdots, u_n(x)$ 可导, $f(x)=u_1(x) u_2(x) \cdots u_n(x)$, 写出 $f(x)$ 的求导 公式.
答案:
解 (I) 因为函数 $u(x), v(x)$ 可导, 所以
$$
\lim _{\Delta x-0} \frac{u(x+\Delta x)-u(x)}{\Delta x}=u^{\prime}(x), \lim _{\Delta x \rightarrow 0} \frac{v(x+\Delta x)-v(x)}{\Delta x}=v^{\prime}(x) \text {, 且 } \lim _{\Delta x \rightarrow 0} v(x+\Delta x)=v(x) \text {. }
$$
从而
$[u(x) v(x)]^{\prime}=\lim _{\Delta x \rightarrow 0} \frac{u(x+\Delta x)_v(x+\Delta x)-u(x) v(x)}{\Delta x}$
$=\lim _{\Delta x \rightarrow 0}\left[\frac{u(x+\Delta x)-u(x)}{\Delta x} v(x+\triangle x)+u(x) \frac{v(x+\triangle x)-v(x)}{\Delta x}\right]$
$=\lim _{\triangle \rightarrow+0} \frac{u(x+\Delta x)-u(x)}{\Delta x} \cdot \lim _{\Delta x \rightarrow 0} v(x+\triangle x)+u(x) \lim _{\Delta x \rightarrow 0} \frac{v(x+\Delta x)-v(x)}{\Delta x}$
$=u^{\prime}(x) v(x)+u(x) v^{\prime}(x)$.
( II )
$$
f^{\prime}(x)=u_1^{\prime}(x) u_2(x) \cdots u_n(x)+u_1(x) u_2^{\prime}(x) \cdots u_n(x)+\cdots+u_1(x) u_2(x) \cdots u_n^{\prime}(x) .
$$

解析:

视频讲解

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