题号:1976    题型:解答题    来源:2015年全国硕士研究生招生考试试题
设函数 $f(x)=x+a \ln (1+x)+b x \sin x, g(x)=k x^3$. 若 $f(x)$ 与 $g(x)$ 在 $x \rightarrow 0$ 时是等价无穷小, 求 $a, b, k$ 值.
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答案:
解 由于 $\ln (1+x)=x-\frac{x^2}{2}+\frac{x^3}{3}+o\left(x^3\right)$, $\sin x=x-\frac{x^3}{6}+o\left(x^3\right)$,
所以
$$
f(x)=x+a \ln (1+x)+b x \sin x
$$
$$
\begin{aligned}
&=x+a\left(x-\frac{x^2}{2}+\frac{x^3}{3}\right)+b x^2+o\left(x^3\right) \\
&=(1+a) x+\left(b-\frac{a}{2}\right) x^2+\frac{a}{3} x^3+o\left(x^3\right) .
\end{aligned}
$$
因为 $f(x)$ 与 $g(x)=k x^3$ 在 $x \rightarrow 0$ 时等价, 所以 $\left\{\begin{array}{l}1+a=0, \\ b-\frac{a}{2}=0, \\ k=\frac{a}{3} .\end{array}\right.$
解得 $a=-1, b=-\frac{1}{2}, k=-\frac{1}{3}$.

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