题号:1975    题型:填空题    来源:2015年全国硕士研究生招生考试试题
类型:考研真题
设二维随机变量 $(X, Y)$ 服从正态分布 $N(1,0 ; 1,1 ; 0)$, 则 $P\{X Y-Y < 0\}=$
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答案:
$\frac{1}{2}$

解析:

解 由于相关系数为 0 , 所以 $X, Y$ 都服从正态分布, 即 $X \sim N(1,1), Y \sim N(0,1)$, 且 $X$ 和 $Y$ 相互独立.
由 $X \sim N(1,1)$, 可得 $X-1 \sim N(0,1)$, 所以
$$
\begin{aligned}
P\{X Y-Y < 0\} &=P\{(X-1) Y < 0\} \\
&=P\{X-1 < 0, Y > 0\}+P\{X-1 > 0, Y < 0\} \\
&=P\{X-1 < 0\} P\{Y > 0\}+P\{X-1 > 0\} P\{Y < 0\} \\
&=\frac{1}{2} \times \frac{1}{2}+\frac{1}{2} \times \frac{1}{2}=\frac{1}{2} .
\end{aligned}
$$

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