题号:1966    题型:单选题    来源:2015年全国硕士研究生招生考试试题
设矩阵 $\boldsymbol{A}=\left(\begin{array}{ccc}1 & 1 & 1 \\ 1 & 2 & a \\ 1 & 4 & a^2\end{array}\right), \boldsymbol{b}=\left(\begin{array}{l}1 \\ d \\ d^2\end{array}\right)$. 若集合 $\Omega=\{1,2\}$, 则线性方程组 $\boldsymbol{A} \boldsymbol{x}=\boldsymbol{b}$ 有无穷多解的充分 必要条件为 ( )
$A.$ $a \notin \Omega, d \notin \Omega$. $B.$ $a \notin \Omega, d \in \Omega$. $C.$ $a \in \Omega, d \notin \Omega$. $D.$ $a \in \Omega, d \in \Omega$.
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答案:
D

解析:


$$
|\boldsymbol{A}|=\left|\begin{array}{ccc}
1 & 1 & 1 \\
1 & 2 & a \\
1 & 4 & a^2
\end{array}\right|=(a-2)(a-1)(2-1)=(a-2)(a-1)
$$
由线性方程组有无穷多解, 得 $|\boldsymbol{A}|=0$, 即 $a=1$ 或 $a=2$. 当 $a=1$ 时,$(\boldsymbol{A}, \boldsymbol{b}) \longrightarrow\left(\begin{array}{cccc}1 & 1 & 1 & 1 \\ 0 & 1 & 0 & d-1 \\ 0 & 0 & 0 & (d-1)(d-2)\end{array}\right)$, 由题意, 知 $r(\boldsymbol{A})=r(\boldsymbol{A}, \boldsymbol{b}) < 3$, 即 $d=1$ 或 $d=2$. 同理, 当 $a=2$ 时, $(\boldsymbol{A}, \boldsymbol{b}) \longrightarrow\left(\begin{array}{cccc}1 & 1 & 1 & 1 \\ 0 & 1 & 1 & d-1 \\ 0 & 0 & 0 & (d-1)(d-2)\end{array}\right)$, 由题意, 如 $r(\boldsymbol{A})=r(\boldsymbol{A}, \boldsymbol{b}) < 3$, 即 $d=1$ 或 $d=2$. 故应选 D.
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