【ID】1957 【题型】解答题 【类型】考研真题 【来源】2014年全国硕士研究生招生考试试题
设数列 $\left\{a_{n}\right\},\left\{b_{n}\right\}$ 满足 $0 < a_{n} < \frac{\pi}{2}, 0 < b_{n} < \frac{\pi}{2}, \cos a_{n}-a_{n}=\cos b_{n}$, 且级数 $\sum_{n=1}^{\infty} b_{n}$ 收玫. (I) 证明 $\lim _{n \rightarrow \infty} a_{n}=0$;
(II) 证明级数 $\sum_{n=1}^{\infty} \frac{a_{n}}{b_{n}}$ 收敛.
答案:
证 (I) 因为 $\cos a_{n}-\cos b_{n}=a_{n}$, 且 $0 < a_{n} < \frac{\pi}{2}, 0 < b_{n} < \frac{\pi}{2}$, 所以 $0 < a_{n} < b_{n}$. 又因为 $\sum_{n=1}^{\infty} b_{n}$ 收玫, 所以 $\lim _{n \rightarrow \infty} b_{n}=0$. 故 $\lim _{n \rightarrow \infty} a_{n}=0$.
(II) 因为 $\lim _{n \rightarrow \infty} \frac{a_{n}}{b_{n}^{2}}=\lim _{n \rightarrow \infty} \frac{1-\cos b_{n}}{b_{n}^{2}} \cdot \frac{a_{n}}{1-\cos b_{n}}$
$$
\begin{aligned}
&=\frac{1}{2} \lim _{n \rightarrow \infty} \frac{a_{n}}{1-\cos b_{n}} \\
&=\frac{1}{2} \lim _{n \rightarrow \infty} \frac{a_{n}}{a_{n}+1-\cos a_{n}} \\
&=\frac{1}{2},
\end{aligned}
$$
且级数 $\sum_{n=1}^{\infty} b_{n}$ 收玫, 所以 $\sum_{n=1}^{\infty} \frac{a_{n}}{b n}$ 收玫.

解析:

视频讲解

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