为庆祝祖国 75 周年华诞, 某商场决定在国庆期间举行抽奖活动. 盖中装有 5 个除颜色外均相同的小球,其中 2 个是红球, 3 个是黄球. 每位顾客均有一次抽奖机会, 抽奖时从盒中随机取出 1 球, 若取出的是红球,则可领取 "特等奖", 该小球不再放回：若取出的是黄球，则可领取 "参与奖"，并将该球放回盒中.
(1) 在第 2 位顾客中 "参与奖" 的条件下, 第 1 位顾客中 "特等奖" 的概率;
(2) 记 $p_{n-1}$ 为第 $n$ 个顾客参与后后来参与的顾客不再有机会中 "特等奖" 的概率, 求数列 $\left\{p_n\right\}$ 的通项公式：
(3) 设事件 $X$ 为第 $k$ 个顾客参与时获得最后一个 "特等奖", 要使 $X$ 发生概率最大, 求 $k$ 的值.