题号:1955    题型:解答题    来源:2014年全国硕士研究生招生考试试题
设函数 $f(u)$ 具有二阶连续导数, $z=f\left(\mathrm{e}^{x} \cos y\right)$ 满足 $\frac{\partial^{2} z}{\partial x^{2}}+\frac{\partial^{2} z}{\partial y^{2}}=\left(4 z+\mathrm{e}^{x} \cos y\right) \mathrm{e}^{2 x}$. 若 $f(0)=0$, $f^{\prime}(0)=0$, 求 $f(u)$ 的表达式.
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答案:
解 因为 $\frac{\partial z}{\partial x}=f^{\prime}\left(\mathrm{e}^{x} \cos y\right) \mathrm{e}^{x} \cos y$,
$\frac{\partial^{2} z}{\partial x^{2}}=f^{\prime \prime}\left(\mathrm{e}^{x} \cos y\right) \mathrm{e}^{2 x} \cos ^{2} y+f^{\prime}\left(\mathrm{e}^{x} \cos y\right) \mathrm{e}^{x} \cos y$,
$\frac{\partial z}{\partial y}=-f^{\prime}\left(\mathrm{e}^{x} \cos y\right) \mathrm{e}^{x} \sin y$,
$\frac{\partial^{2} z}{\partial y^{2}}=f^{\prime \prime}\left(\mathrm{e}^{x} \cos y\right) \mathrm{e}^{2 x} \sin ^{2} y-f^{\prime}\left(\mathrm{e}^{x} \cos y\right) \mathrm{e}^{x} \cos y$,
所以 $\frac{\partial^{2} z}{\partial x^{2}}+\frac{\partial^{2} z}{\partial y^{2}}=\left(4 z+\mathrm{e}^{x} \cos y\right) \mathrm{e}^{2 x}$ 化为
$f^{\prime \prime}\left(\mathrm{e}^{x} \cos y\right) \mathrm{e}^{2 x}=\left[4 f\left(\mathrm{e}^{x} \cos y\right)+\mathrm{e}^{x} \cos y\right] \mathrm{e}^{2 x} .$
从而函数 $f(u)$ 满足方程
$$
f^{\prime \prime}(u)=4 f(u)+u .
$$
方程 (1) 对应的齐次方程的通解为
$$
f(u)=C_{1} \mathrm{e}^{2 u}+C_{2} \mathrm{e}^{-2 u} .
$$
方程 (1) 的一个特解为 $-\frac{u}{4}$, 故方程 (1) 的通解为
$f(u)=C_{1} \mathrm{e}^{2 u}+C_{2} \mathrm{e}^{-2 u}-\frac{u}{4} .$
解得 $C_{1}=\frac{1}{16}, C_{2}=-\frac{1}{16}$.
故 $f(u)=\frac{1}{16}\left(\mathrm{e}^{2 u}-\mathrm{e}^{-2 u}-4 u\right)$.
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