题号:1954    题型:解答题    来源:2014年全国硕士研究生招生考试试题
设函数 $y=f(x)$ 由方程 $y^{3}+x y^{2}+x^{2} y+6=0$ 确定, 求 $f(x)$ 的极值.
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答案:
解 在 $y^{3}+x y^{2}+x^{2} y+6=0$ 两端关于 $x$ 求导, 得 $3 y^{2} y^{\prime}+y^{2}+2 x y y^{\prime}+2 x y+x^{2} y^{\prime}=0$. 令 $y^{\prime}=0$, 得 $y=-2 x$, 或 $y=0$ (不适合方程, 舍去).
将 $y=-2 x$ 代人方程得 $-6 x^{3}+6=0$, 解得 $x=1, f(1)=-2$. 在 $3 y^{2} y^{\prime}+y^{2}+2 x y y^{\prime}+2 x y+x^{2} y^{\prime}=0$ 两端关于 $x$ 求导, 得 $\left(3 y^{2}+2 x y+x^{2}\right) y^{\prime \prime}+2(3 y+x)\left(y^{\prime}\right)^{2}+4(y+x) y^{\prime}+2 y=0$.
求得 $f^{\prime \prime}(1)=\frac{4}{9} > 0$.
所以 $x=1$ 是函数 $f(x)$ 的极小值点, 极小值为 $f(1)=-2$.
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