已知定义域为 $D$ 的函数 $f(x)$, 若存在实数 $a$, 使得 $\forall x_1 \in D$, 都存在 $x_2 \in D$ 满足 $\frac{x_1+f\left(x_2\right)}{2}=a$,则称函数 $f(x)$ 具有性质 $P(a)$.
(1) 判断函数 $f(x)=3^x$ 是否具有性质 $P(0), g(x)=x^3$ 是否具有性质 $P(1)$, 说明理由;
(2) 若存在唯一实数 $a$, 使得函数 $f(x)=t x^2+x+4, x \in[0,4]$ 具有性质 $P(a)$, 求实数 $t$ 的值.