已知函数 $f(x)=\frac{2 g(x)(g(2 x)+1)}{(2 g(2 x)+1)(g(2 x)+2)}, g(x)=e^x, h(x)=e^{2 x}+\left|e^x-a\right|, a \in \mathbf{R}$.
(1) 求 $f(x)$ 的解析式并判断其奇偶性;
(2)已知对任意的 $x_1, x_2 \in \mathbf{R}$, 都有 $f\left(x_1\right) \leq h\left(x_2\right)$, 求参数 $a$ 的取值范围.
$\text{A.}$
$\text{B.}$
$\text{C.}$
$\text{D.}$
$\text{E.}$
$\text{F.}$