已知 $G$ 为 $\triangle A B C$ 的重心, $\angle A=\frac{2 \pi}{3}, \overrightarrow{A B} \cdot \overrightarrow{A C}=-2$, 则 $|\overrightarrow{A G}|=\frac{1}{3}|\overrightarrow{A B}+\overrightarrow{A C}|=\frac{1}{3} \sqrt{(\overrightarrow{A B}+\overrightarrow{A C})^2}$ 的最小值为
A
$\frac{1}{8}$
B
$\frac{4}{9}$
C
$\frac{1}{9}$
D
$\frac{2}{3}$
E
F