题号:1941    题型:单选题    来源:2014年全国硕士研究生招生考试试题
设 $f(x, y)$ 是连续函数, 则 $\int_{0}^{1} \mathrm{~d} y \int_{-\sqrt{1-y^{2}}}^{1-y} f(x, y) \mathrm{d} x=(\quad)$
$A.$ $\int_{0}^{1} d x \int_{0}^{x-1} f(x, y) d y+\int_{-1}^{0} d x \int_{0}^{\sqrt{1-x^{2}}} f(x, y) d y$. $B.$ $\int_{0}^{1} dx \int_{0}^{1-x} f(x, y) d y+\int_{-1}^{0} d x \int_{-\sqrt{1-x^{2}}}^{0} f(x, y) d y$. $C.$ $\int_{0}^{\frac{\pi}{2}} d θ \int_{0}^{\frac{1}{\cos θ+\sinθ}} f(r \cos θ, r \sinθ) d r+\int_{\frac{\pi}{2}}^{\pi} dθ \int_{0}^{1} f(r \cos θ, r \sin θ) d r$. $D.$ $\int_{0}^{\frac{\pi}{2}} dθ \int_{0}^{\frac{1}{\cosθ+\sinθ}} f(r \cosθ, r \sinθ) r d r+\int_{\frac{\pi}{2}}^{\pi} dθ \int_{0}^{1} f(r \cosθ, r \sinθ) r d r$.
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答案:
D

解析:

解 积分区域如右图所示, 换成极坐标则为
$$
\int_{0}^{\frac{\pi}{2}} \mathrm{~d} \theta \int_{0}^{\frac{1}{\cos \theta+\sin \theta}} f(r \cos \theta, r \sin \theta) r \mathrm{~d} r+\int_{\frac{\pi}{2}}^{\pi} \mathrm{d} \theta \int_{0}^{1} f(r \cos \theta, r \sin \theta) r \mathrm{~d} r .
$$
故应选 D.
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