题号:1934    题型:单选题    来源:2014年全国硕士研究生招生考试试题
下列曲线中有渐近线的是()
$A.$ $y=x+\sin x$. $B.$ $y=x^{2}+\sin x$. $C.$ $y=x+\sin \frac{1}{x}$. $D.$ $y=x^{2}+\sin \frac{1}{x}$.
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答案:
C

解析:

解 由渐近线定义可知, 四个选项的曲线均不存在水平渐近线和垂直渐近线 对于 $y=x+\sin \frac{1}{x}$, 可知
$$
\begin{aligned}
&a=\lim _{x \rightarrow \infty} \frac{f(x)}{x}=\lim _{x \rightarrow \infty} \frac{x+\sin \frac{1}{x}}{x}=\lim _{x \rightarrow \infty}\left(1+\frac{1}{x} \sin \frac{1}{x}\right)=1, \\
&b=\lim _{x \rightarrow \infty}[f(x)-a x]=\lim _{x \rightarrow \infty} \sin \frac{1}{x}=0 .
\end{aligned}
$$
所以 $y=x$ 是 $y=x+\sin \frac{1}{x}$ 的斜渐近线. 故应选 C.
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