【ID】1917 【题型】解答题 【类型】考研真题 【来源】2013年全国硕士研究生招生考试试题
设总体 $X$ 的概率密度为 $f(x ; \theta)=\left\{\begin{array}{ll}\frac{\theta^{2}}{x^{3}} \mathrm{e}^{-\frac{\theta}{x}}, & x > 0, \\ 0, & \text { 其他, }\end{array}\right.$ 其中 $\theta$ 为末知参数且大于零. $X_{1}, X_{2}, \cdots, X_{n}$
为来自总体 $X$ 的简单随机样本.
(I) 求 $\theta$ 的矩估计量;
(II) 求 $\theta$ 的最大似然估计量.
答案:
解 ( I ) $E X=\int_{0}^{+\infty} x \cdot \frac{\theta^{2}}{x^{3}} \mathrm{e}^{\circ} \div \mathrm{d} x=\int_{0}^{+\infty} \frac{\theta^{2}}{x^{2}} \mathrm{e}^{-\frac{0}{x}} \mathrm{~d} x=\theta$ 所以 $\theta$ 的矩估计量为 $\dot{\theta}=\bar{X}$, 其中 $\bar{X}=\frac{1}{n} \sum_{i=1}^{n} X_{i}$.
(II) 设 $x_{1}, x_{2}, \cdots, x_{n}$ 为样本观测值, 似然函数为
$$
L(\theta)=\prod_{i=1}^{n} f\left(x_{i} ; \theta\right)= \begin{cases}\frac{\theta^{2 n}}{\left(x_{1} x_{2} \cdots x_{n}\right)^{3}} \mathrm{e}^{-\theta \sum_{i=1}^{n} \frac{1}{x_{i}}}, & x_{1}, x_{2}, \cdots, x_{n} > 0, \\ 0, & \text { 其他. }\end{cases}
$$
当 $x_{1}, x_{2}, \cdots, x_{n} > 0$ 时, $\ln L(\theta)=2 n \ln \theta-\theta \sum_{i=1}^{n} \frac{1}{x_{i}}-3 \sum_{i=1}^{n} \ln x_{i}$.
令 $\frac{\mathrm{d}[\ln L(\theta)]}{\mathrm{d} \theta}=\frac{2 n}{\theta}-\sum_{i=1}^{n} \frac{1}{x_{i}}=0$, 得 $\theta$ 的最大似然估计值为 $\dot{\theta}=\frac{2 n}{\sum_{i=1}^{n} \frac{1}{x_{i}}}$.
所以 $\theta$ 的最大似然估计量为 $\dot{\theta}=\frac{2 n}{\sum_{i=1}^{n} \frac{1}{X_{i}}}$.

解析:

视频讲解

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