题号:1912    题型:解答题    来源:2013年全国硕士研究生招生考试试题
设奇函数 $f(x)$ 在 $[-1,1]$ 上具有二阶导数, 且 $f(1)=1$. 证明:
(I) 存在 $\xi \in(0,1)$, 使得 $f^{\prime}(\xi)=1$;
(II) 存在 $\eta \in(-1,1)$, 使得 $f^{\prime \prime}(\eta)+f^{\prime}(\eta)=1$.
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答案:
(18) 证 ( I ) 设 $F(x)=f(x)-x, x \in[-1,1]$.
$\because f(x)$ 是奇函数, $\therefore f(0)=0$.
从而 $F(1)=f(1)-1=0$,
$$
F(0)=f(0)-0=0,
$$
且 $F(x)$ 在 $[0,1]$ 上连续,在 $(0,1)$ 内可导.由罗尔中值定理,存在 $\xi \in(0,1)$ 使得 $f^{\prime}(\xi)=$ $f(\xi)-1=0$. 即 $f^{\prime}(\xi)=1$.
(II) 设 $G(x)=f^{\prime}(x)+f(x)-x, \quad-1 \leqslant x \leqslant 1$.
$\because f(x)$ 在 $[-1,1]$ 上是奇函数,
$\therefore f^{\prime}(x)$ 在 $[-1,1]$ 上是偶函数,
$G(1)=f^{\prime}(1)+f(1)-1=f^{\prime}(1)$,
$G(-1)=f^{\prime}(-1)+f(-1)+1=f^{\prime}(-1)=f^{\prime}(1)$.
故 $G(1)=G(-1)$, 且 $G(x)$ 在 $[-1,1]$ 内连续,在 $(-1,1)$ 内可导.由罗尔中值定理, $\exists \eta \in$ $(-1,1)$ 使得
$$
G^{\prime}(\eta)=f^{\prime \prime}(\eta)+f^{\prime}(\eta)-1=0 .
$$
即 $f^{\prime \prime}(\eta)+f^{\prime}(\eta)=1$.
另解 1:设 $G(x)=\mathrm{e}^{x}\left(f^{\prime}(x)-1\right)$, 则由 (1): $G(\xi)=0$.
又由于 $f(x)$ 为奇函数, 故 $f^{\prime}(x)$ 为偶函数, 可知 $G(-\xi)=0$.
则 $\exists \eta \in(-\xi, \xi) \subset(-1,1)$ 使 $G^{\prime}(\eta)=0$,
即 $\mathrm{e}^{\eta}\left[f^{\prime}(\eta)-1\right]+\mathrm{e}^{\eta} f^{\prime \prime}(\eta)=0$.
亦即 $f^{\prime \prime}(\eta)+f^{\prime}(\eta)=1$.
另解 2: 令 $G(x)=\mathrm{e}^{x}\left(f^{\prime}(x)-1\right)$, 则 $G(\xi)=0$.
由于 $f(x)$ 为奇函数, 故 $f^{\prime}(x)$ 为偶函数, 得 $G(-\xi)=0$.
$G(x)$ 在 $[-\xi, \xi] \subset[-1,1]$ 上可导,由罗尔定理知
$\exists \eta \in(-\xi, \xi) \in(-1,1), G^{\prime}(\eta)=0$,
即 $f^{\prime \prime}(\eta)+f^{\prime}(\eta)=1$.

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