题号:1910    题型:解答题    来源:2013年全国硕士研究生招生考试试题
设数列 $\left\{a_{n}\right\}$ 满足条件: $a_{0}=3, a_{1}=1, a_{n-2}-n(n-1) a_{n}=0(n \geqslant 2), S(x)$ 是幂级数 $\sum_{n=0}^{\infty} a_{n} x^{n}$ 的 和函数.
(I) 证明 $S^{\prime \prime}(x)-S(x)=0$;
(II) 求 $S(x)$ 的表达式.
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答案:
(I) 证 $\quad S^{\prime}(x)=\sum_{n=1}^{\infty} n a_{n} x^{n-1}, \quad S^{\prime \prime}(x)=\sum_{n=2}^{\infty} n(n-1) a_{n} x^{n-2}$, 又 $\because a_{n-2}=n(n-1) a_{n}(n \geqslant 2)$,
$$
\therefore S^{\prime \prime}(x)=\sum_{n=2}^{\infty} a_{n-2} x^{n-2}=\sum_{n=0}^{\infty} a_{n} x^{n}=S(x),
$$
$\therefore S^{\prime \prime}(x)-S(x)=0$ 得证.
(II) 解 $S^{\prime \prime}(x)-S(x)=0$ 为二阶常系数齐次线性微分方程, 其特征方程为 $\lambda^{2}-1=0$,
从而 $\lambda=\pm 1$,于是 $S(x)=C_{1} \mathrm{e}^{-x}+C_{2} \mathrm{e}^{x}$.
又 $S(0)=a_{0}=3, S^{\prime}(0)=a_{1}=1$,
代人上式得 $\left\{\begin{array}{l}C_{1}+C_{2}=3 \\ -C_{1}+C_{2}=1\end{array}\right.$ ,
解得 $C_{1}=1, C_{2}=2$,
所以 $S(x)=\mathrm{e}^{-x}+2 \mathrm{e}^{x}$.
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