题号:1904    题型:填空题    来源:2013年全国硕士研究生招生考试试题
已知 $y_{1}=\mathrm{e}^{3 x}-x \mathrm{e}^{2 x}, y_{2}=\mathrm{e}^{x}-x \mathrm{e}^{2 x}, y_{3}=-x \mathrm{e}^{2 x}$ 是某二阶常系数非齐次线性微分方程的 3 个解, 则该方程的通解为 $y=$
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答案:
$C_{1} \mathrm{e}^{x}+C_{2} \mathrm{e}^{3 x}-x \mathrm{e}^{2 x}$

解析:

解 由常系数非齐次线性微分方程解的性质可得
$$
y_{1}-y_{3}=\mathrm{e}^{3 x}, \quad y_{2}-y_{3}=\mathrm{e}^{x}
$$
是相应二阶齐次线性微分方程的两个特解.
故相应二阶齐次线性微分方程的通解为
$$
y_{0}=C_{1} \mathrm{e}^{3 x}+C_{2} \mathrm{e}^{x} .
$$
所以所求非齐次方程的通解可表示为
$$
y=C_{1} \mathrm{e}^{x}+C_{2} \mathrm{e}^{3 x}-x \mathrm{e}^{2 x} .
$$
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