题号:1903    题型:填空题    来源:2013年全国硕士研究生招生考试试题
类型:考研真题
设函数 $y=f(x)$ 由方程 $y-x=\mathrm{e}^{x(1-y)}$ 确定, 则 $\lim _{n \rightarrow \infty} n\left[f\left(\frac{1}{n}\right)-1\right]=$
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答案:
1

解析:

解 把 $x=0$ 代人方程有 $f(0)=1$. 方程 $y-x=\mathrm{e}^{x(1-y)}$ 两端同时对 $x$ 求导有 $f^{\prime}(x)-1=\mathrm{e}^{x[1-f(x)]}\left[1-f(x)-x f^{\prime}(x)\right]$.
把 $x=0$ 代人上式得 $f^{\prime}(0)=2-f(0)=1$.
又 $\lim _{x \rightarrow 0} \frac{f(x)-1}{x}=f^{\prime}(0)=1$,
$\therefore \quad \lim _{n \rightarrow \infty} n\left[f\left(\frac{1}{n}\right)-1\right]=\lim _{n \rightarrow \infty} \frac{f\left(\frac{1}{n}\right)-1}{\frac{1}{n}}=\lim _{x \rightarrow 0} \frac{f(x)-1}{x}=1$

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