题号:1898    题型:单选题    来源:2013年全国硕士研究生招生考试试题
设 $L_{1}: x^{2}+y^{2}=1, L_{2}: x^{2}+y^{2}=2, L_{3}: x^{2}+2 y^{2}=2, L_{4}: 2 x^{2}+y^{2}=2$ 为四条逆时针方向的平面曲线. 记 $I_{i}=\oint_{L_{i}}\left(y+\frac{y^{3}}{6}\right) \mathrm{d} x+\left(2 x-\frac{x^{3}}{3}\right) \mathrm{d} y(i=1,2,3,4)$, 则 $\max \left\{I_{1}, I_{2}, I_{3}, I_{4}\right\}=(\quad)$
$A.$ $I_{1}$. $B.$ $I_{2}$. $C.$ $I_{3}$. $D.$ $I_{4}$.
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答案:
D

解析:


解 由格林公式得
$I_{i}-\oint_{\Delta_{i}}\left(y+\frac{y^{3}}{6}\right) \mathrm{d} x+\left(2 x-\frac{x^{3}}{3}\right) \mathrm{d} y=\iint_{D_{i}}\left(1-x^{2}-\frac{y^{2}}{2}\right) \mathrm{d} x \mathrm{~d} y$,
其中 $D_{1}: x^{2}+y^{2} \leqslant 1$,
$D_{2}: x^{2}+y^{2} \leqslant 2$,
$D_{3}: \frac{x^{2}}{2}+y^{2} \leqslant 1$,
$D_{4}: x^{2}+\frac{y^{2}}{2} \leqslant 1$.
显然在 $D_{4}$ 内有
$1-x^{2}-\frac{y^{2}}{2} > 0$, 在 $D_{4}$ 外有 $1-x^{2}-\frac{y^{2}}{2} < 0$,
又如图有 $D_{1} \subset D_{4}, D_{4} \subset D_{2}$. 由重积分性质知 $I_{4} > I_{1}, I_{4} > I_{2}$.
又 $D_{4}=D_{5}+D_{4} \backslash D_{5}, D_{3}=D_{5}+D_{3} \backslash D_{5}$, 在 $D_{3} \backslash D_{5}$ 上 $1-x^{2}-\frac{y^{2}}{2} < 0$, 在 $D_{4} \backslash D_{5}$ 上 $1-x^{2}-\frac{y^{2}}{2} > 0$,
\begin{aligned}
&\text { 故 } I_{4}=\iint_{D_{5}}\left(1-x^{2}-\frac{y^{2}}{2}\right) \mathrm{d} x \mathrm{~d} y+\iint_{D_{4} \backslash D_{5}}\left(1-x^{2}-\frac{y^{2}}{2}\right) \mathrm{d} x \mathrm{~d} y \\
& > I_{3}=\iint_{D_{5}}\left(1-x^{2}-\frac{y^{2}}{2}\right) \mathrm{d} x \mathrm{~d} y+\iint_{D_{3} \backslash D_{5}}\left(1-x^{2}-\frac{y^{2}}{2}\right) \mathrm{d} x \mathrm{~d} y . \text { 故应选 D. }
\end{aligned}
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