题号:1895    题型:单选题    来源:2013年全国硕士研究生招生考试试题
已知极限 $\lim _{x \rightarrow 0} \frac{x-\arctan x}{x^{k}}=c$, 其中 $k, c$ 为常数, 且 $c \neq 0$, 则 ( $)$
$A.$ $k=2, c=-\frac{1}{2}$. $B.$ $k=2, c=\frac{1}{2}$. $C.$ $k=3, c=-\frac{1}{3}$. $D.$ $k=3, c=\frac{1}{3}$.
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答案:
D

解析:

用洛必达法则
$$
\lim _{x \rightarrow 0} \frac{x-\arctan x}{x^{k}}=\lim _{x \rightarrow 0} \frac{1-\frac{1}{1+x^{2}}}{k x^{k-1}}=\lim _{x \rightarrow 0} \frac{1+x^{2}-1}{k x^{k-1}\left(1+x^{2}\right)}=\frac{1}{k} \lim _{x \rightarrow 0} \frac{x^{2}}{x^{k-1}}=c \neq 0,
$$
因此 $k-1=2, \frac{1}{k}=c$, 即 $k=3, c=\frac{1}{3}$. 故应选 D.
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