【ID】1894 【题型】解答题 【类型】考研真题 【来源】2012年全国硕士研究生招生考试试题
设随机变量 $X$ 与 $Y$ 相互独立且分别服从正态分布 $N\left(\mu, \sigma^{2}\right)$ 与 $N\left(\mu, 2 \sigma^{2}\right)$, 其中 $\sigma$ 是末知参数 且 $\sigma > 0$. 记 $Z=X-Y$.
(I) 求 $Z$ 的概率密度 $f\left(z ; \sigma^{2}\right)$;
( II ) 设 $Z_{1}, Z_{2}, \cdots, Z_{n}$ 为来自总体 $Z$ 的简单随机样本, 求 $\sigma^{2}$ 的最大似然估计量 $\widehat{\sigma^{2}}$;
( III ) 证明 $\widehat{\sigma^{2}}$ 为 $\sigma^{2}$ 的无偏估计量.
答案:
解 (I) 由题设条件可知 $Z$ 服从正态分布, 且
$$
E Z=E(X-Y)=E X-E Y=\mu-\mu=0
$$
$$
D Z=D(X-Y)=D X+D Y=\sigma^{2}+2 \sigma^{2}=3 \sigma^{2}
$$
故 $Z \sim N\left(0,3 \sigma^{2}\right)$, 则 $Z$ 的概率密度为
$$
f\left(z ; \sigma^{2}\right)=\frac{1}{\sqrt{2 \pi} \cdot \sqrt{3 \sigma^{2}}} \cdot \mathrm{e}^{\frac{-\left(z, \omega^{2}\right.}{2 \cdot \sigma^{2}}}=\frac{1}{\sqrt{6 \pi} \sigma} \mathrm{e}^{-\frac{z^{2}}{6 \sigma^{2}}},-\infty < z < +\infty .
$$
(II) 由题设条佯可知, 似然函数义
$L\left(\sigma^{2}\right)=\prod_{i=1}^{n} f\left(z_{i} ; \sigma^{2}\right)=\prod_{i=1}^{n}\left(\frac{1}{\sqrt{6 \pi} \sigma} \mathrm{e}^{-\frac{\varepsilon_{i}^{2}}{6 \sigma^{2}}}\right)$
$$
=\frac{1}{(\sqrt{6 \pi})^{n} \sigma^{n}} \mathrm{e}^{\frac{\sum_{i=1}^{n} \varepsilon_{i}^{2}}{6 \sigma^{2}}},-\infty < z_{i} < +\infty, i=1,2, \cdots, n
$$
两边取对数, 可得 $\ln L\left(\sigma^{2}\right)=-\frac{n}{2} \ln (6 \pi)-\frac{n}{2} \ln \sigma^{2}-\frac{1}{6 \sigma^{2}} \sum_{i=1}^{n} z_{i}^{2}$ 令 $\frac{\partial \ln L\left(\sigma^{2}\right)}{\partial\left(\sigma^{2}\right)}=-\frac{n}{2} \cdot \frac{1}{\sigma^{2}}+\frac{1}{6 \sigma^{4}} \sum_{i=1}^{n} z_{i}^{2}=0$.
解得 $\sigma^{2}=\frac{1}{3 n} \sum_{i=1}^{n} z_{i}^{2}$
故 $\sigma^{2}$ 的最大似然估计量为 $\hat{\sigma}^{2}=\frac{1}{3 n} \sum_{i=1}^{n} Z_{i}^{2}$.
(III) $E \hat{\sigma}^{2}=E\left(\frac{1}{3 n} \sum_{i=1}^{n} Z_{i}^{2}\right)=\frac{1}{3 n} \sum_{i=1}^{n} E\left(Z_{i}^{2}\right)=\frac{1}{3 n} \cdot n E Z^{2}$
$$
=\frac{1}{3}\left[D Z+(E Z)^{2}\right]=\frac{1}{3}\left(3 \sigma^{2}+0\right)=\sigma^{2}
$$
故 $E \hat{\sigma}^{2}=\sigma^{2}$, 则 $\hat{\sigma}^{2}$ 是 $\sigma^{2}$ 的无偏估计量.

解析:

视频讲解

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