已知函数 $f(x)$ 的定义域为 $\mathbf{R}, f^{\prime}(x)$ 为函数 $f(x)$ 的导函数, 当 $x \in[0,+\infty)$ 时, $\sin 2 x-f^{\prime}(x)>0$, 且 $\forall x \in \mathbf{R}, f(-x)+f(x)-2 \sin ^2 x=0$, 则下列说法一定正确的是 ( )
$\text{A.}$ $f\left(\frac{\pi}{3}\right)-f\left(\frac{\pi}{6}\right)>\frac{1}{2}$
$\text{B.}$ $f\left(\frac{\pi}{3}\right)-f\left(\frac{\pi}{4}\right) < \frac{1}{4}$
$\text{C.}$ $f\left(\frac{\pi}{3}\right)-f\left(\frac{3 \pi}{4}\right)>\frac{1}{4}$
$\text{D.}$ $f\left(\frac{\pi}{3}\right)-f\left(-\frac{3 \pi}{4}\right)>\frac{1}{4}$
$\text{E.}$
$\text{F.}$