题号:1892    题型:解答题    来源:2012年全国硕士研究生招生考试试题
类型:考研真题
已知 $\boldsymbol{A}=\left(\begin{array}{rrr}1 & 0 & 1 \\ 0 & 1 & 1 \\ -1 & 0 & a \\ 0 & a & -1\end{array}\right)$, 二次型 $f\left(x_{1}, x_{2}, x_{3}\right)=\boldsymbol{x}^{\mathrm{T}}\left(\boldsymbol{A}^{\mathrm{T}} \boldsymbol{A}\right) \boldsymbol{x}$ 的秩为 2 .
(I) 求实数 $a$ 的值;
(II) 求正交变换 $\boldsymbol{x}=\boldsymbol{Q} \boldsymbol{y}$ 将二次型 $f$ 化为标准形.
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答案:

( I ) $\boldsymbol{A}^{\mathrm{T}} \boldsymbol{A}=\left[\begin{array}{rcc}1 & 0 & 1 \\ 0 & 1 & 1 \\ -1 & 0 & a \\ 0 & a & -1\end{array}\right]^{\mathrm{T}}\left[\begin{array}{rcc}1 & 0 & 1 \\ 0 & 1 & 1 \\ -1 & 0 & a \\ 0 & a & -1\end{array}\right]=\left[\begin{array}{cccc}1 & 0 & -1 & 0 \\ 0 & 1 & 0 & a \\ 1 & 1 & a & -1\end{array}\right]\left[\begin{array}{ccc}1 & 0 & 1 \\ 0 & 1 & 1 \\ -1 & 0 & a \\ 0 & a & -1\end{array}\right]$
$$
=\left[\begin{array}{ccc}
2 & 0 & 1-a \\
0 & 1+a^{2} & 1-a \\
1-a & 1-a & 3+a^{2}
\end{array}\right]
$$
因为 $\boldsymbol{A}^{\mathrm{T}} \boldsymbol{A}$ 中有 2 阶子式 $\left|\begin{array}{cc}2 & 0 \\ 0 & 1+a^{2}\end{array}\right|=2\left(1+a^{2}\right) \neq 0$, 故若二次型 $f$ 的秩为 2 , 则 $\left|\boldsymbol{A}^{\mathrm{T}} \boldsymbol{A}\right|=0$, 故 $\left|\boldsymbol{A}^{\mathrm{T}} \boldsymbol{A}\right|=(a+1)^{2}\left(a^{2}+3\right)=0, a=-1$.
(II) 当 $a=-1$ 时, $\boldsymbol{A}^{\mathrm{T}} \boldsymbol{A}=\left[\begin{array}{lll}2 & 0 & 2 \\ 0 & 2 & 2 \\ 2 & 2 & 4\end{array}\right]$ 为实对称矩阵.
$$
\left|\lambda \boldsymbol{E}-\boldsymbol{A}^{\mathrm{T}} \boldsymbol{A}\right|=\left|\begin{array}{ccc}
\lambda-2 & 0 & -2 \\
0 & \lambda-2 & -2 \\
-2 & -2 & \lambda-4
\end{array}\right|=\lambda(\lambda-2)(\lambda-6)
$$
故矩阵 $A^{\mathrm{T}} A$ 的特征值分别为 $0,2,6$.
当 $\lambda=0$ 时, $\left(0 \boldsymbol{E}-\boldsymbol{A}^{\mathrm{T}} \boldsymbol{A}\right) \boldsymbol{x}=\mathbf{0}$ 的基础解系为 $(-1,-1,1)^{\mathrm{T}}$,
当 $\lambda=2$ 时, $\left(2 \boldsymbol{E}-\boldsymbol{A}^{\mathrm{T}} \boldsymbol{A}\right) \boldsymbol{x}=\mathbf{0}$ 的基础解系为 $(-1,1,0)^{\mathrm{T}}$,
当 $\lambda=6$ 时, $\left(6 \boldsymbol{E}-\boldsymbol{A}^{\mathrm{T}} \boldsymbol{A}\right) \boldsymbol{x}=\mathbf{0}$ 的基础解系为 $(1,1,2)^{\mathrm{T}}$.
由于实对称矩阵不同特征值对应的特征向量相互正交, 故只需单位化.
$\boldsymbol{\gamma}_{1}=\frac{1}{\sqrt{3}}(-1,-1,1)^{\mathrm{T}}, \quad \boldsymbol{\gamma}_{2}=\frac{1}{\sqrt{2}}(-1,1,0)^{\mathrm{T}}, \quad \gamma_{3}=\frac{1}{\sqrt{6}}(1,1,2)^{\mathrm{T}}$,

$$
\text { 令 }\left[\begin{array}{l}
x_{1} \\
x_{2} \\
x_{3}
\end{array}\right]=\left[\begin{array}{ccc}
-\frac{1}{\sqrt{3}} & -\frac{1}{\sqrt{2}} & \frac{1}{\sqrt{6}} \\
-\frac{1}{\sqrt{3}} & \frac{1}{\sqrt{2}} & \frac{1}{\sqrt{6}} \\
\frac{1}{\sqrt{3}} & 0 & \frac{2}{\sqrt{6}}
\end{array}\right]\left[\begin{array}{l}
y_{1} \\
y_{2} \\
y_{3}
\end{array}\right], \quad \text { 则 } \boldsymbol{x}^{\mathrm{T}}\left(\boldsymbol{A}^{\mathrm{T}} \boldsymbol{A}\right) \boldsymbol{x}=\boldsymbol{y}^{\mathrm{T}} \Lambda \boldsymbol{y}=2 y_{2}^{2}+6 y_{3}^{2} \text {. }
$$

解析:

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