题号:1891    题型:解答题    来源:2012年全国硕士研究生招生考试试题
设 $\boldsymbol{A}=\left(\begin{array}{llll}1 & a & 0 & 0 \\ 0 & 1 & a & 0 \\ 0 & 0 & 1 & a \\ a & 0 & 0 & 1\end{array}\right), \quad \boldsymbol{\beta}=\left(\begin{array}{r}1 \\ -1 \\ 0 \\ 0\end{array}\right)$.
( I ) 计算行列式 $|\boldsymbol{A}|$;
(II) 当实数 $a$ 为何值时, 方程组 $\boldsymbol{A x}=\boldsymbol{\beta}$ 有无穷多解, 并求其通解.
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答案:
解 (I ) 按第一列展开, 可得
$$
|\boldsymbol{A}|=1 \cdot\left|\begin{array}{ccc}
1 & a & 0 \\
0 & 1 & a \\
0 & 0 & 1
\end{array}\right|+(-1)^{4+1} \cdot a\left|\begin{array}{ccc}
a & 0 & 0 \\
1 & a & 0 \\
0 & 1 & a
\end{array}\right|=1-a^{4} .
$$
(II) 当 $|\boldsymbol{A}|=0$ 时, 方程组 $\boldsymbol{A} \boldsymbol{x}=\boldsymbol{\beta}$ 可能有无穷多解, 由(I)可得, $a=1$, 或 $a=-1$.

(1) 当 $a=1$ 时, $(\boldsymbol{A} \vdots \boldsymbol{\beta})=\left[\begin{array}{llll:r}1 & 1 & 0 & 0 & 1 \\ 0 & 1 & 1 & 0 & -1 \\ 0 & 0 & 1 & 1 & 0 \\ 1 & 0 & 0 & 1 & 0\end{array}\right] \rightarrow\left[\begin{array}{llll:r}1 & 1 & 0 & 0 & 1 \\ 0 & 1 & 1 & 0 & -1 \\ 0 & 0 & 1 & 1 & 0 \\ 0 & 0 & 0 & 0 & -2\end{array}\right]$ 因为 $r(\boldsymbol{A})=3, r(\boldsymbol{A} \vdots \boldsymbol{\beta})=4$, 故方程组无解,即当 $a=1$ 时不合题意, 舍去.
(2) 当 $a=-1$ 时,
$(\boldsymbol{A} \vdots \boldsymbol{\beta})=\left[\begin{array}{cccc:c}1 & -1 & 0 & 0 & 1 \\ 0 & 1 & -1 & 0 & -1 \\ 0 & 0 & 1 & -1 & 0 \\ -1 & 0 & 0 & 1 & 0\end{array}\right] \rightarrow\left[\begin{array}{cccc:c}1 & 0 & 0 & -1 & 0 \\ 0 & 1 & 0 & -1 & -1 \\ 0 & 0 & 1 & -1 & 0 \\ 0 & 0 & 0 & 0 & 0\end{array}\right]$
因为 $r(\boldsymbol{A})=r(\boldsymbol{A} \vdots \boldsymbol{\beta})=3$, 故方程组有无穷多解. 选 $x_{3}$ 为自由变量, 则方程组的通解为: $k(1,1,1,1)^{\mathrm{T}}+(0,-1,0,0)^{\mathrm{T}}$ ( $k$ 为任意常数).

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