题号:1890    题型:解答题    来源:2012年全国硕士研究生招生考试试题
类型:考研真题
已知 $L$ 是第一象限中从点 $(0,0)$ 沿圆周 $x^{2}+y^{2}=2 x$ 到点 $(2,0)$, 再沿圆周 $x^{2}+y^{2}=4$ 到点 $(0,2)$ 的曲线段, 计算曲线积分 $I=\int_{L} 3 x^{2} y \mathrm{~d} x+\left(x^{3}+x-2 y\right) \mathrm{d} y$.
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答案:

解 利用格林公式
记 $J=\int_{L} P \mathrm{~d} x+Q \mathrm{~d} y$, 曲线 $L$ 如有图所示.
$$
P(x, y)=3 x^{2} y, Q(x, y)=x^{3}+x-2 y,
$$
并且 $\frac{\partial Q}{\partial x}-\frac{\partial P}{\partial y}=3 x^{2}+1-3 x^{2}=1$
由于曲线 $L$ 不封闭, 故添加辅助线 $L_{1}$ : 沿 $y$ 轴由点 $B(0,2)$ 到点 $O(0,0)$
则 $\int_{L 1} P \mathrm{~d} x+Q \mathrm{~d} y=\int_{L 1} Q(0, y) \mathrm{d} y=\int_{2}^{0}(-2 y) \mathrm{d} y=\int_{0}^{2} 2 y \mathrm{~d} y=4$ 然后在 $L_{1}$ 与 $L$ 围成的区域 $D$ 上用格林公式(边界取正向), 则:
$$
\int_{L+L_{1}} P \mathrm{~d} x+Q \mathrm{~d} y=\iint_{D}\left(\frac{\partial Q}{\partial x}-\frac{\partial P}{\partial y}\right) \mathrm{d} \sigma=\iint_{D} 1 \mathrm{~d} \sigma=\frac{1}{4} \pi \cdot 2^{2}-\frac{1}{2} \pi \cdot 1^{2}=\frac{\pi}{2}
$$
故 $J=\int_{L} P \mathrm{~d} x+Q \mathrm{~d} y=\int_{L+L_{1}} P \mathrm{~d} x+Q \mathrm{~d} y-\int_{L_{1}} P \mathrm{~d} x+Q \mathrm{~d} y=\frac{\pi}{2}-4$.

解析:

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