题号:1886    题型:解答题    来源:2012年全国硕士研究生招生考试试题
证明: $x \ln \frac{1+x}{1-x}+\cos x \geqslant 1+\frac{x^{2}}{2} \quad(-1 < x < 1)$.
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答案:
证 令 $F(x)=x \ln \frac{1+x}{1-x}+\cos x-1-\frac{x^{2}}{2},(-1 < x < 1)$, 又因 $F(x)=F(-x)$, 即 $F(x)$ 是偶函数, 故只需考虑 $x \geqslant 0$ 的情形. $f^{\prime}(x)=f(x)$

$$
\begin{array}{rlr}
& =\ln \frac{1+x}{1-x}+x \cdot \frac{1}{\frac{1+x}{1-x}} \cdot \frac{2}{(1-x)^{2}}-\sin x-x & \\
& =\ln \frac{1+x}{1-x}+\frac{2 x}{(1+x)(1-x)}-\sin x-x & \\
& =\ln \frac{1+x}{1-x}+\frac{1}{1-x}-\frac{1}{1+x}-\sin x-x & x \in(0,1) \\
f^{\prime}(x) & =\frac{1}{1+x}+\frac{1}{1-x}+\frac{1}{(1-x)^{2}}+\frac{1}{(1+x)^{2}}-\cos x-1 & x \in(0,1) \\
f^{\prime \prime}(x) & =-\frac{1}{(1+x)^{2}}+\frac{1}{(1-x)^{2}}+\frac{2}{(1-x)^{3}}-\frac{2}{(1+x)^{3}}+\sin x & x \in(0,1)
\end{array}
$$
因为 $0 < x < 1$ 时, $\frac{1}{(1-x)^{2}}-\frac{1}{(1+x)^{2}} > 0, \frac{1}{(1-x)^{3}}-\frac{1}{(1+x)^{3}} > 0, \sin x > 0$, 故 $f^{\prime \prime}(x) > 0$.
又因为 $f^{\prime}(x)$ 在 $[0,1)$ 是连续的, 故 $f^{\prime}(x)$ 在 $[0,1)$ 上是单调增加的,
$$
f^{\prime}(x) > f^{\prime}(0)=2 > 0
$$
同理, $f(x)$ 在 $[0,1)$ 上也是单调增加的, $f(x) > f(0)=0$,
故 $F(x)$ 在 $[0,1)$ 上是单调增加的, $F(x) > F(0)=0$;
又因为 $F(x)$ 是偶函数, 则 $F(x) > 0, x \in(-1,1), x \neq 0$.
又因为 $F(0)=0$, 故 $F(x) \geqslant 0$, 即原不等式成立, 证毕.
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