题号:1884    题型:填空题    来源:2012年全国硕士研究生招生考试试题
设 $\boldsymbol{\alpha}$ 为 3 维单位列向量, $\boldsymbol{E}$ 为 3 阶单位矩阵, 则矩阵 $\boldsymbol{E}-\boldsymbol{\alpha} \boldsymbol{\alpha}^{\mathrm{T}}$ 的秩为
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答案:
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解析:

解 由题意 $\boldsymbol{\alpha}=\left[\begin{array}{l}a_{1} \\ a_{2} \\ a_{3}\end{array}\right]$ 且 $a_{1}^{2}+a_{2}^{2}+a_{3}^{2}=1$
$\therefore \alpha \alpha^{T}=\left[\begin{array}{l}a_{1} \\ a_{2} \\ a_{3}\end{array}\right]\left(a_{1}, a_{2}, a_{3}\right)=\left[\begin{array}{ccc}a_{1}^{2} & a_{1} a_{2} & a_{1} a_{3} \\ a_{2} a_{1} & a_{2}^{2} & a_{2} a_{3} \\ a_{3} a_{1} & a_{3} a_{2} & a_{3}^{2}\end{array}\right]$ 且 $r\left(\boldsymbol{\alpha} \boldsymbol{\alpha}^{T}\right)=1$ $\left|\lambda \boldsymbol{E}-\boldsymbol{\alpha} \boldsymbol{\alpha}^{T}\right|=\lambda^{3}-\left(a_{1}^{2}+a_{2}^{2}+a_{3}^{2}\right) \lambda^{2}=\lambda^{3}-\lambda^{2} \Rightarrow \boldsymbol{\alpha}^{T}$ 的特征值 $\quad 0,0,1$ $\therefore \boldsymbol{E}-\boldsymbol{A}$ 的特征值 $0,1,1 \quad \therefore r\left(\boldsymbol{E}-\boldsymbol{\alpha} \boldsymbol{\alpha}^{T}\right)=2$.

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