题号:1883    题型:填空题    来源:2012年全国硕士研究生招生考试试题
设 $\Sigma=\{(x, y, z) \mid x+y+z=1, x \geqslant 0, y \geqslant 0, z \geqslant 0\}$, 则 $\iint_{\Sigma} y^{2} \mathrm{~d} S=$
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答案:
$\frac{\sqrt{3}}{12}$

解析:

解 $\iint_{\Sigma} y^{2} \mathrm{~d} S=\iint_{D_{x y}} y^{2} \sqrt{1+\left(\frac{\partial z}{\partial x}\right)^{2}+\left(\frac{\partial z}{\partial y}\right)^{2}} \mathrm{~d} x \mathrm{~d} y=\sqrt{3} \iint_{D_{x y}} y^{2} \mathrm{~d} x \mathrm{~d} y=\sqrt{3} \int_{0}^{1} \mathrm{~d} x \int_{0}^{1-x} y^{2} \mathrm{~d} y=\frac{\sqrt{3}}{12}$.
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