题号:1880    题型:填空题    来源:2012年全国硕士研究生招生考试试题
若函数 $f(x)$ 满足方程 $f^{\prime \prime}(x)+f^{\prime}(x)-2 f(x)=0$ 及 $f^{\prime \prime}(x)+f(x)=2 \mathrm{e}^{x}$, 则 $f(x)=$
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答案:
$\mathrm{e}^{x}$

解析:

解 由 $f^{\prime \prime}(x)+f(x)=2 \mathrm{e}^{x} \Rightarrow f^{\prime \prime}(x) \Rightarrow 2 \mathrm{e}^{x}-f(x)$ 代人 $f^{\prime \prime}(x)+f^{\prime}(x)-2 f(x)=0$ 得 $f^{\prime}(x)-3 f(x)=-2 \mathrm{e}^{x}$
$\Rightarrow\left[f^{\prime}(x)-3 f(x)\right] \mathrm{e}^{-3 x}=-2 \mathrm{e}^{-2 x}$ (两边同乘 $\mathrm{e}^{-3 x}$ )
$\Rightarrow\left[\mathrm{e}^{-3 x} f(x)\right]^{\prime}=-2 \mathrm{e}^{-2 x} \Rightarrow \mathrm{e}^{-3 x} f(x)=\mathrm{e}^{-2 x}+C \Rightarrow f(x)=\mathrm{e}^{x}+C \mathrm{e}^{3 x}$
代人 $f^{\prime \prime}(x)+f(x)=2 \mathrm{e}^{x} \quad$ 验证得 $C=0 \quad \therefore f(x)=\mathrm{e}^{x}$.
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