题号:1878    题型:单选题    来源:2012年全国硕士研究生招生考试试题
设随机变量 $X$ 与 $Y$ 相互独立,且分别服从参数为 1 与参数为 4 的指数分布, 则 $P\{X < Y\}=(\quad)$
$A.$ $\frac{1}{5}$. $B.$ $\frac{1}{3}$. $C.$ $\frac{2}{3}$. $D.$ $\frac{4}{5}$.
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答案:
A

解析:

解 $f_{X}(x)=\left\{\begin{array}{l}\mathrm{e}^{-x}, \quad x > 0, \\ 0, \quad x \leqslant 0 .\end{array} \quad f_{Y}(y)=\left\{\begin{array}{cc}4 \mathrm{e}^{-4 y}, & y > 0, \\ 0, \quad y \leqslant 0 .\end{array}\right.\right.$ 由 $X, Y$ 相互独立, 故 $f(x, y)=f_{X}(x) \cdot f_{Y}(y)=\left\{\begin{array}{cc}4 \mathrm{e}^{-(x+4 y)}, & x > 0, y > 0, \\ 0, & \text { 其他. }\end{array}\right.$ $P\{X < Y\}=\iint_{D_{x y}} f(x, y) \mathrm{d} x \mathrm{~d} y=\iint_{\substack{x < y \\ x > 0, y > 0}} 4 \mathrm{e}^{-(x+4 y)} \mathrm{d} x \mathrm{~d} y=\frac{1}{5}$. 故应选 A.
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