题号:1874    题型:单选题    来源:2012年全国硕士研究生招生考试试题
如果函数 $f(x, y)$ 在点 $(0,0)$ 处连续, 那么下列命题正确的是
$A.$ 若极限 $\lim _{\substack{x \rightarrow 0 \\ y \rightarrow 0}} \frac{f(x, y)}{|x|+|y|}$ 存在, 则 $f(x, y)$ 在点 $(0,0)$ 处可微. $B.$ 若极限 $\lim _{\substack{x \rightarrow 0 \\ y \rightarrow 0}} \frac{f(x, y)}{x^{2}+y^{2}}$ 存在, 则 $f(x, y)$ 在点 $(0,0)$ 处可微. $C.$ 若 $f(x, y)$ 在点 $(0,0)$ 处可微, 则极限 $\lim _{\substack{x \rightarrow 0 \\ y \rightarrow 0}} \frac{f(x, y)}{|x|+|y|}$ 存在. $D.$ 若 $f(x, y)$ 在点 $(0,0)$ 处可微, 则极限 $\lim _{\substack{x \rightarrow 0 \\ y \rightarrow 0}} \frac{f(x, y)}{x^{2}+y^{2}}$ 存在.
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答案:
B

解析:

解 A 项用枚举法: 设 $f(x, y)=|x|+|y|$ 则 $\lim _{\substack{x \rightarrow 0 \\ y \rightarrow 0}} \frac{f(x, y)}{|x|+|y|}$ 存在, 但 $f_{x}(0,0), f_{y}(0,0)$ 都不存在即 $f(x, y)$ 在 $(0,0)$ 处不可微. $\mathrm{A}$ 错误 B 项. 由 $\lim _{\substack{x \rightarrow 0 \\ y \rightarrow 0}} \frac{f(x, y)}{x^{2}+y^{2}}=A$ (存在), 则 $\lim _{\substack{x \rightarrow 0 \\ y \rightarrow 0}} f(x, y)=0$, 又 $f(x, y)$ 在点 $(0,0)$ 处连续, 故 $f(0,0)=0$;
且 $x \rightarrow 0$ $y \rightarrow 0$ 时 $f(x, y)$ 是 $x^{2}+y^{2}$ 的高阶无穷小
$\therefore \lim _{\substack{x \rightarrow 0 \\ y \rightarrow 0}} \frac{f(x, y)-f(0,0)}{\sqrt{x^{2}+y^{2}}}=\lim _{\substack{x \rightarrow 0 \\ y \rightarrow 0}} \frac{f(x, y)}{\sqrt{x^{2}+y^{2}}}=0$. B 正确.
C、D 项用枚举法. $f(x, y)=x$ 满足条件, 但 $\lim _{\substack{x \rightarrow 0 \\ y \rightarrow 0}} \frac{f(x, y)}{|x|+|y|}$ 与 $\lim _{\substack{x \rightarrow 0 \\ y \rightarrow 0}} \frac{f(x, y)}{x^{2}+y^{2}}$ 均不存在.故 C、D 错误.故应选 B.

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