题号:1849    题型:解答题    来源:2011年全国硕士研究生招生考试试题
设 $X_{1}, X_{2}, \cdots, X_{n}$ 为来自正态总体 $N\left(\mu_{0}, \sigma^{2}\right)$ 的简单随机样本, 其中 $\mu_{0}$ 已知, $\sigma^{2} > 0$ 末知, $\bar{X}$ 和 $S^{2}$ 分别表示样本均值和样本方差.
(I) 求参数 $\sigma^{2}$ 的最大似然估计 $\widehat{\sigma^{2}}$;
(II) 计算 $E\left(\widehat{\sigma^{2}}\right)$ 和 $D\left(\widehat{\sigma^{2}}\right)$.
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答案:
解 (I) 设 $x_{1}, x_{2}, \cdots, x_{n}$ 为样木观测值, 则似然函数为
则 $\ln L\left(\sigma^{2}\right)=-n \ln \sqrt{2 \pi}-\frac{n}{2} \ln \sigma^{2}-\frac{\sum_{i=1}^{n}\left(x_{i}-\mu_{0}\right)^{2}}{2 \sigma^{2}}$,
令 $\frac{\mathrm{d} \ln L\left(\sigma^{2}\right)}{\mathrm{d} \sigma^{2}}=-\frac{n}{2 \sigma^{2}}+\frac{\sum_{i=1}^{n}\left(x_{i}-\mu_{0}\right)^{2}}{2 \sigma^{4}}=0$,
得 $\sigma^{2}$ 的极大似然估计为 $\hat{\sigma}^{2}=\frac{1}{n} \sum_{i=1}^{n}\left(X_{i}-\mu_{0}\right)^{2}$.
(II) 因为 $\frac{1}{\sigma^{2}} \sum_{i=1}^{n}\left(X_{i}-\mu_{0}\right)^{2} \sim \chi^{2}(n)$,
所以 $E\left[\frac{1}{\sigma^{2}} \sum_{i=1}^{n}\left(X_{i}-\mu_{0}\right)^{2}\right]=n, D\left[\frac{1}{\sigma^{2}} \sum_{i=1}^{n}\left(X_{i}-\mu_{0}\right)^{2}\right]=2 n$,
于是 $E\left(\hat{\sigma}^{2}\right)=\frac{\sigma^{2}}{n} E\left[\frac{1}{\sigma^{2}} \sum_{i=1}^{n}\left(X_{i}-\mu_{0}\right)^{2}\right]=\sigma^{2}$,
$$
D\left(\hat{\sigma}^{2}\right)=\frac{\sigma^{4}}{n^{2}} D\left[\frac{1}{\sigma^{2}} \sum_{i=1}^{n}\left(X_{i}-\mu_{0}\right)^{2}\right]=\frac{2}{n} \sigma^{4} .
$$
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