【ID】1847 【题型】解答题 【类型】考研真题 【来源】2011年全国硕士研究生招生考试试题
设 $\boldsymbol{A}$ 为 3 阶实对称矩阵, $\boldsymbol{A}$ 的秩为 2 , 且
$$
A\left(\begin{array}{rr}
1 & 1 \\
0 & 0 \\
-1 & 1
\end{array}\right)=\left(\begin{array}{rr}
-1 & 1 \\
0 & 0 \\
1 & 1
\end{array}\right) .
$$
(I) 求 $\boldsymbol{A}$ 的所有特征值与特征向量;
(II) 求矩阵 $\boldsymbol{A}$.
答案:
解 (I)记 $\boldsymbol{\alpha}_{1}=\left(\begin{array}{c}1 \\ 0 \\ -1\end{array}\right), \boldsymbol{\alpha}_{2}=\left(\begin{array}{l}1 \\ 0 \\ 1\end{array}\right)$, 由题设条件知 $\boldsymbol{A} \boldsymbol{\alpha}_{1}=-\boldsymbol{\alpha}_{1}, \boldsymbol{A} \boldsymbol{\alpha}_{2}=\boldsymbol{\alpha}_{2}$. 所以, $\boldsymbol{A}$ 有特征值 $\lambda_{1}=-1, \lambda_{2}=1, \boldsymbol{\alpha}_{1}, \boldsymbol{\alpha}_{2}$ 为其对应的特征向量. 又秩 $(\boldsymbol{A})=2$, 故 $|\boldsymbol{A}|=0$, 从而, 另一特征值 $\lambda_{3}=0$,
设 $\lambda_{3}=0$ 对应的特征向量 $\boldsymbol{\alpha}_{3}=\left(x_{1}, x_{2}, x_{3}\right)^{\mathrm{T}}$, 由于 $\boldsymbol{A}$ 为实对称矩阵, 则 $\left\{\begin{array}{l}\boldsymbol{\alpha}_{1}^{\mathrm{T}} \boldsymbol{\alpha}_{3}=0, \\ \boldsymbol{\alpha}_{2}^{\mathrm{T}} \boldsymbol{\alpha}_{3}=0,\end{array}\right.$ 即 $\left\{\begin{array}{l}x_{1}-x_{3}=0, \\ x_{1}+x_{3}=0\end{array}\right.$ 解得 $\boldsymbol{\alpha}_{3}=\left(\begin{array}{l}0 \\ 1 \\ 0\end{array}\right)$.
从而 $\boldsymbol{A}$ 的特征值分别为 $-1,1,0$, 其对应的特征向量分别为 $k_{1} \boldsymbol{\alpha}_{1}, k_{2} \boldsymbol{\alpha}_{2}, k_{3} \boldsymbol{\alpha}_{3}$ (其中 $k_{i} \neq 0$, $i=1,2,3)$.
(II) 由于不同特征值的特征向量正交, 则只需将 $\boldsymbol{\alpha}_{1}, \boldsymbol{\alpha}_{2}, \boldsymbol{\alpha}_{3}$ 单位化, 得 $\boldsymbol{r}_{1}=\left(\begin{array}{c}\frac{1}{\sqrt{2}} \\ 0 \\ -\frac{1}{\sqrt{2}}\end{array}\right), \boldsymbol{r}_{2}=\left(\begin{array}{c}\frac{1}{\sqrt{2}} \\ 0 \\ \frac{1}{\sqrt{2}}\end{array}\right), \boldsymbol{r}_{3}=\left(\begin{array}{l}0 \\ 1 \\ 0\end{array}\right)$
令 $Q=\left(\begin{array}{ccc}\frac{1}{\sqrt{2}} & \frac{1}{\sqrt{2}} & 0 \\ 0 & 0 & 1 \\ -\frac{1}{\sqrt{2}} & \frac{1}{\sqrt{2}} & 0\end{array}\right)$, 则 $Q^{\mathrm{T}} \boldsymbol{A} Q=\left(\begin{array}{ccc}-1 & & \\ & 1 & \\ & & 0\end{array}\right)$,
所以 $\boldsymbol{A}=\boldsymbol{Q}\left(\begin{array}{ccc}-1 & & \\ & 1 & \\ & & 0\end{array}\right) \boldsymbol{Q}^{\mathrm{T}}=\left(\begin{array}{ccc}\frac{1}{\sqrt{2}} & \frac{1}{\sqrt{2}} & 0 \\ 0 & 0 & 1 \\ -\frac{1}{\sqrt{2}} & \frac{1}{\sqrt{2}} & 0\end{array}\right)\left(\begin{array}{ccc}-1 & & \\ & 1 & \\ & & 0\end{array}\right)\left(\begin{array}{ccc}\frac{1}{\sqrt{2}} & 0 & -\frac{1}{\sqrt{2}} \\ \frac{1}{\sqrt{2}} & 0 & \frac{1}{\sqrt{2}} \\ 0 & 1 & 0\end{array}\right)$
$$
=\left(\begin{array}{ccc}
-\frac{1}{\sqrt{2}} & \frac{1}{\sqrt{2}} & 0 \\
0 & 0 & 0 \\
\frac{1}{\sqrt{2}} & \frac{1}{\sqrt{2}} & 0
\end{array}\right)\left(\begin{array}{ccc}
\frac{1}{\sqrt{2}} & 0 & -\frac{1}{\sqrt{2}} \\
\frac{1}{\sqrt{2}} & 0 & \frac{1}{\sqrt{2}} \\
0 & 1 & 0
\end{array}\right)=\left(\begin{array}{lll}
0 & 0 & 1 \\
0 & 0 & 0 \\
1 & 0 & 0
\end{array}\right) .
$$

解析:

视频讲解

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