题号:1844    题型:解答题    来源:2011年全国硕士研究生招生考试试题
( I ) 证明: 对任意的正整数 $n$, 都有 $\frac{1}{n+1} < \ln \left(1+\frac{1}{n}\right) < \frac{1}{n}$ 成立;
(II) 设 $a_{n}=1+\frac{1}{2}+\cdots+\frac{1}{n}-\ln n(n=1,2, \cdots)$, 证明数列 $\left\{a_{n}\right\}$ 收敛.
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答案:
( I ) 证 利用拉格朗日微分中值定理
令 $f(x)=\ln (1+x)$, 则 $f(x)$ 在闭区间 $\left[0, \frac{1}{n}\right)$ 上满足拉格朗日中值定理的条件, 于是有 $f\left(\frac{1}{n}\right)-f(0)=f^{\prime}(\xi) \cdot \frac{1}{n}\left(0 < \xi < \frac{1}{n}\right)$,
即 $\ln \left(1+\frac{1}{n}\right)=\ln \left(1+\frac{1}{n}\right)-\ln 1=\frac{1}{(1+\xi) n}$,
$$
\because 0 < \xi < \frac{1}{n}, \therefore \frac{1}{1+\frac{1}{n}} < \frac{1}{1+\xi} < 1 \text {, }
$$
则 $\frac{1}{1+n} < \frac{1}{n(1+\xi)} < \frac{1}{n}$,
故有 $\frac{1}{1+n} < \ln \left(1+\frac{1}{n}\right) < \frac{1}{n}$.


(II) 由 (I) 的结论知 $\ln \left(1+\frac{1}{n}\right) < \frac{1}{n}$,
因此有 $\ln (n+1)-\ln n < \frac{1}{n}$,
令 $n=1,2,3, \cdots, n$ 得
$$
\begin{aligned}
&\ln 2-\ln 1 < 1, \\
&\ln 3-\ln 2 < \frac{1}{2}, \\
&\ln 4-\ln 3 < \frac{1}{3}, \\
&\cdots \cdots \\
&\ln (n+1)-\ln n < \frac{1}{n},
\end{aligned}
$$
将上述各不等式两端分别相加得
$$
\ln (n+1) < 1+\frac{1}{2}+\frac{1}{3}+\cdots+\frac{1}{n},
$$
于是 $a_{n+1}=1+\frac{1}{2}+\frac{1}{3}+\cdots+\frac{1}{n}+\frac{1}{n+1}-\ln (n+1) > \frac{1}{n+1} > 0$, 即数列 $\left\{a_{n}\right\}$ 有下界.
又因为 $a_{n}-a_{n+1}=-\frac{1}{n+1}+\ln (n+1)-\ln n=\ln \left(1+\frac{1}{n}\right)-\frac{1}{n+1} > 0$ (由 ( I ) 的结论) 即数列 $\left\{a_{n}\right\}$ 是单调下降的.
综上知数列 $\left\{a_{n}\right\}$ 单调下降且有界.
根据极限存在准则知 $\lim a_{n}$ 存在且有限, 故数列 $\left\{a_{n}\right\}$ 收敛.

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