【ID】1843 【题型】解答题 【类型】考研真题 【来源】2011年全国硕士研究生招生考试试题
求方程 $k \arctan x-x=0$ 不同实根的个数, 其中 $k$ 为参数.
答案:

解 令 $f(x)=k \arctan x \cdots x$, 则
$$
f^{\prime}(x)=\frac{k}{1+x^{2}}-1=\frac{k-1-x^{2}}{1+x^{2}} .
$$
1) 当 $k \leqslant 1$ 时, $f^{\prime}(x)=\frac{-\left[(1-k)+x^{2}\right]}{1+x^{2}} \leqslant 0$, 驮此, $f(x)$ 单调减少, 此时 $f(x)$ 只有一个零点, 即 $f(0)=0$, 即原方程 $k \arctan x-x=0$ 只有一个实根 $x=0$; 2)当 $k > 1$ 时, 由 $f^{\prime}(x)=0$ 得 $x_{1}=-\sqrt{k-1}, x_{2}=\sqrt{k-1}$,
当 $x \in(-\infty,-\sqrt{k-1})$ 时, $f^{\prime}(x) < 0$, 因此, $f(x)$ 单调减少;
当 $x \in(-\sqrt{k-1}, \sqrt{k-1})$ 时, $f^{\prime}(x) > 0$, 因此, $f(x)$ 单调增加;
当 $x \in(\sqrt{k-1},+\infty)$ 时, $f^{\prime}(x) < 0$, 因此, $f(x)$ 单调减少,
所以 $x_{1}=-\sqrt{k-1}$ 是极小值点, $x_{2}=\sqrt{k-1}$ 是极大值点;
由于 $f(0)=0$, 则 $f(x)$ 的极大值 $f(\sqrt{k-1}) > 0, f(x)$ 的极小值 $f(-\sqrt{k-1}) < 0$.
又 $\lim _{x \rightarrow-\infty} f(x)=+\infty, \lim _{x \rightarrow+\infty} f(x)=-\infty, f(0)=0$,
综上知: $f(x)$ 在 $k > 1$ 时在 3 个不同的零点且分别
位于 $(-\infty,-\sqrt{k-1}),(-\sqrt{k-1}, \sqrt{k-1})$ 及
$(\sqrt{k-1},+\infty)$ 内, 此时函数 $f(x)$ 的草图如右图所
示,即原方程在 $k > 1$ 时有三个不同的实根.

解析:

视频讲解

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